点到直线的最值问题?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 12:54:00
在直线L:3X-Y-1=0上求点P使得(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大?(2)P到A(4,1)和B(3,4)的距离之和最小?
解题思路: (1)求出点B关于直线的对称点B\',则直线AB\'与已知直线的交点即是所求。(主要用到三角形中两边之差小于第三边) (2)求出点关于直线的对称点B\',则直线AB\'与已知直线的交点即是所求。(主要用到三角形中两边之和大于第三边)
解题过程:
解:(1)设B关于直线l的对称点为B'(a,b),设点P'是直线l上不同于点P的任一点,则|P'A|-|P'B|=|P'A|-|P'B'|<|AB'|而|AB'|=|PA|-|PB'|=|PA|-|PB|,所以|AB'|就是直线L:3X-Y-1=0上到A(4,1)和B(0,4)的距离之差的最大值,则直线AB'与已知直线的交点P即为所求。由题知直线BB'垂直于直线L。∴kBB'KL=-1,即3×(b-4)/2=-1即a+3b-12=0…①又线段BB'的中点坐标为(a/2,(4+b)/2),且在直线L上,则3×(a/2)-(b+4)/2-1=0j即3a-b-6=0…②解①②得,a=3,b=3, ∴B’(3,3),∴AB’的方程为2x+y-9=0
由2x+y-9=0与3X-Y-1=0解得x=2,y=5,即L与AB’的交点为P(2,5)。∴P(2,5)即为所求。
(2)设B关于直线l的对称点为B’(a,b),设点P'是直线l上不同于点P的任一点,则|P'A|+|P'B|=|P'A|+|P'B'|>|AB'|而|AB'|=|PA|+|PB'|=|PA|+|PB|,所以|AB'|就是直线L:3X-Y-1=0上到A(4,1)和B(3,4)的距离之和的最小值,则直线AB'与已知直线的交点P即为所求。
由题知直线BB'垂直于直线L。∴kBB'KL=-1,即3×(b-4)/2=-1即a+3b-12=0…③又线段BB'的中点坐标为((a+3)/2,(4+b)/2),且在直线L上,则3×(a+3)/2-(b+4)/2-1=0即3a-b+3=0…④解③④得a=3/5,b=24/5, ∴AB’的方程为19x+17y-93=0由19x+17y-93=0与3X-Y-1=0解得x=11/7,y=26/7, 即L与AB’的交点为P(11/7,26/7)。∴P(11/7,26/7)即为所求.
你再结合图形来理解这个题目会更有帮助。祝你每天都有大的进步!!
最终答案:略
解题过程:
解:(1)设B关于直线l的对称点为B'(a,b),设点P'是直线l上不同于点P的任一点,则|P'A|-|P'B|=|P'A|-|P'B'|<|AB'|而|AB'|=|PA|-|PB'|=|PA|-|PB|,所以|AB'|就是直线L:3X-Y-1=0上到A(4,1)和B(0,4)的距离之差的最大值,则直线AB'与已知直线的交点P即为所求。由题知直线BB'垂直于直线L。∴kBB'KL=-1,即3×(b-4)/2=-1即a+3b-12=0…①又线段BB'的中点坐标为(a/2,(4+b)/2),且在直线L上,则3×(a/2)-(b+4)/2-1=0j即3a-b-6=0…②解①②得,a=3,b=3, ∴B’(3,3),∴AB’的方程为2x+y-9=0
由2x+y-9=0与3X-Y-1=0解得x=2,y=5,即L与AB’的交点为P(2,5)。∴P(2,5)即为所求。
(2)设B关于直线l的对称点为B’(a,b),设点P'是直线l上不同于点P的任一点,则|P'A|+|P'B|=|P'A|+|P'B'|>|AB'|而|AB'|=|PA|+|PB'|=|PA|+|PB|,所以|AB'|就是直线L:3X-Y-1=0上到A(4,1)和B(3,4)的距离之和的最小值,则直线AB'与已知直线的交点P即为所求。
由题知直线BB'垂直于直线L。∴kBB'KL=-1,即3×(b-4)/2=-1即a+3b-12=0…③又线段BB'的中点坐标为((a+3)/2,(4+b)/2),且在直线L上,则3×(a+3)/2-(b+4)/2-1=0即3a-b+3=0…④解③④得a=3/5,b=24/5, ∴AB’的方程为19x+17y-93=0由19x+17y-93=0与3X-Y-1=0解得x=11/7,y=26/7, 即L与AB’的交点为P(11/7,26/7)。∴P(11/7,26/7)即为所求.
你再结合图形来理解这个题目会更有帮助。祝你每天都有大的进步!!
最终答案:略
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