作业帮已知函数f（x）=4-x2
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 15:01:04
已知函数f（x）=4-x2
（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（2）解不等式f（x）≥3x．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（2）解不等式f（x）≥3x．
（1）f（x）的定义域为R，
又∵f（-x）=[4-（-x）2]=4-x2=f（x），
∴f（x）在R内是偶函数．
设x1，x2∈R，0＜x1＜x2
∵f（x1）-f（x2）=（4-x12）-（4-x22）=x22-x12=（x2+x1）（x2-x1）
又x1，x2∈R，0＜x1＜x2，
∴（x2+x1）＞0，（x2-x1）＞0
∵f（x1）-f（x2）＞o
所以函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（2）依题意，得4-x2≥3x，
x2+3x-4≤0，
∴-4≤x≤1，
所以不等式f（x）≥3x的解集为{x|-4≤x≤1}
又∵f（-x）=[4-（-x）2]=4-x2=f（x），
∴f（x）在R内是偶函数．
设x1，x2∈R，0＜x1＜x2
∵f（x1）-f（x2）=（4-x12）-（4-x22）=x22-x12=（x2+x1）（x2-x1）
又x1，x2∈R，0＜x1＜x2，
∴（x2+x1）＞0，（x2-x1）＞0
∵f（x1）-f（x2）＞o
所以函数f（x）在[0，+∞）是减函数；
（2）依题意，得4-x2≥3x，
x2+3x-4≤0，
∴-4≤x≤1，
所以不等式f（x）≥3x的解集为{x|-4≤x≤1}