作业帮利用拉格朗日数乘法求表面积为a^2的长方体的最大体积
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/15 05:11:48
利用拉格朗日数乘法求表面积为a^2的长方体的最大体积
设长方体长为x,宽为y,高为z
目标函数f(x,y,z)=xyz
限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a²
即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0
引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²]
则
L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.(1)
L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.(2)
L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.(3)
φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.(4)
由(1)(2)(3)得
x=y=z=4λ
代入(4)得
λ=a/√96=√6a/24
即驻点为P(x,y,z)=P( √6a/24,√6a/24,√6a/24)
唯一驻点,故最值
最大体积V=xyz=8λ^3=√6a^3/2304
目标函数f(x,y,z)=xyz
限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a²
即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0
引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²]
则
L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.(1)
L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.(2)
L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.(3)
φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.(4)
由(1)(2)(3)得
x=y=z=4λ
代入(4)得
λ=a/√96=√6a/24
即驻点为P(x,y,z)=P( √6a/24,√6a/24,√6a/24)
唯一驻点,故最值
最大体积V=xyz=8λ^3=√6a^3/2304
长方体的体积为a,长宽高各为几时,才有最大的表面积?
c语言程序:利用全局变量,输入长方体的长宽高,求长方体的表面积和体积
已知长方体的长为(2a+b),宽为(a-b),高为(a+b)求长方体的表面积和体积
求原来长方体的表面积和体积.
求长方体的表面积和体积
相等体积的长方体,正方体,球体,哪个表面积最大?
将4个相等的正方体粘成一个表面积最大的长方体后,表面积减少54平方厘米,求长方体的表面积和体积.
已知一个长方体的长为(a+3)cm宽为b cm,高为(a-3)cm,求这个长方体的表面积和体积
将一个长方体截去一个长是2cm的长方体后,剩下的部分是一个表面积为96平方厘米的正方体,求原长方体的体积
一根长方体钢材表面积为164平方厘米截取最大正方体后表面积为64平方厘米,正方体的表面积和体积各是多少
长方体的体积、表面积公式
长方体的表面积和体积