作业帮矩阵谱分解定理的唯一性证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 17:46:33
矩阵谱分解定理的唯一性证明
设A是一个n阶可对角化矩阵,A的谱为σ（A）={λ1 ,λ2,...,λ} （即A的n个不相同的特征值为λ1,λ2,...λs,每个特征值的充数为ks） 则存在唯一一组s个n阶方阵P1 P2...Ps,满足：①A=λ1*P1+λ2*P2+...+λs*Ps ②Pi*Pj=0 （i≠j）；Pi*Pi=Pi ③P1+P2+.+Ps=E（E为n阶单位阵） ⑤r（Pi）=ki
对上述定理的唯一性证明.提示要用到矩阵的满秩分解.
设A是一个n阶可对角化矩阵,A的谱为σ（A）={λ1 ,λ2,...,λ} （即A的n个不相同的特征值为λ1,λ2,...λs,每个特征值的充数为ks） 则存在唯一一组s个n阶方阵P1 P2...Ps,满足：①A=λ1*P1+λ2*P2+...+λs*Ps ②Pi*Pj=0 （i≠j）；Pi*Pi=Pi ③P1+P2+.+Ps=E（E为n阶单位阵） ⑤r（Pi）=ki
对上述定理的唯一性证明.提示要用到矩阵的满秩分解.
定理4.2.1么.
设A=∑λiGi 和A=∑λiPi
→ AGi=λiGi ,APj=λjPj ,i=!j
→ APjGi=λiPjGi,AGiPj=λjGiPj
→ λiPjGi=λjPjGi ,i=!j
→PjGi=0
→Gi=InGi=(∑Pi)Gi=PiGi,Pi=PiIn=Pi(∑Gi)=PiGi
→Pi=Gi
再问： 倒数第二行ln是什么？自然对数吗？
再答： 单位矩阵。。。
设A=∑λiGi 和A=∑λiPi
→ AGi=λiGi ,APj=λjPj ,i=!j
→ APjGi=λiPjGi,AGiPj=λjGiPj
→ λiPjGi=λjPjGi ,i=!j
→PjGi=0
→Gi=InGi=(∑Pi)Gi=PiGi,Pi=PiIn=Pi(∑Gi)=PiGi
→Pi=Gi
再问： 倒数第二行ln是什么？自然对数吗？
再答： 单位矩阵。。。