(2014•东莞一模)已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a为常数);
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/03 06:44:59
(2014•东莞一模)已知函数f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a为常数);
(1)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值;
(2)设a>0,问是否存在x
(1)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点,求a的值;
(2)设a>0,问是否存在x
(1)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,则f'(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),
令f'(x)=0,得x=a或
a
3,而g(x)在x=
a−1
2处有极大值,
∴
a−1
2=a⇒a=−1,或
a−1
2=
a
3⇒a=3;
综上:a=3或-1. (4分)
(2)假设存在,即存在x∈(−1,
a
3),使得f(x)-g(x)=x(x-a)2-[-x2+(a-1)x+a]=x(x-a)2+(x-a)(x+1)=(x-a)[x2+(1-a)x+1]>0,
当x∈(−1,
a
3)时,又a>0,故x-a<0,
则存在x∈(−1,
a
3),使得x2+(1-a)x+1<0,(6分)1°当
a−1
2>
a
3即a>3时,(
a
3)2+(1−a)(
a
3)+1<0得a>3或a<−
3
2,∴a>3;2°当−1≤
a−1
2≤
a
3即0<a≤3时,
4−(a−1)2
4<0得a<-1或a>3,∴a无解;
综上:a>3. (9分)
(3)据题意有f(x)-1=0有3个不同的实根,g(x)-1=0有2个不同的实根,且这5个实根两两不相等.
(ⅰ)g(x)-1=0有2个不同的实根,只需满足g(
a−1
2)>1⇒a>1或a<−3;
(ⅱ)f(x)-1=0有3个不同的实根,1°当
a
3>a即a<0时,f(x)在x=a处取得极大值,而f(a)=0,不符合题意,舍;2°当
a
3=a即a=0时,不符合题意,舍;3°当
a
3<a即a>0时,f(x)在x=
a
3处取得极大值,f(
a
3)>1⇒a>
3
32
2;所以a>
3
32
令f'(x)=0,得x=a或
a
3,而g(x)在x=
a−1
2处有极大值,
∴
a−1
2=a⇒a=−1,或
a−1
2=
a
3⇒a=3;
综上:a=3或-1. (4分)
(2)假设存在,即存在x∈(−1,
a
3),使得f(x)-g(x)=x(x-a)2-[-x2+(a-1)x+a]=x(x-a)2+(x-a)(x+1)=(x-a)[x2+(1-a)x+1]>0,
当x∈(−1,
a
3)时,又a>0,故x-a<0,
则存在x∈(−1,
a
3),使得x2+(1-a)x+1<0,(6分)1°当
a−1
2>
a
3即a>3时,(
a
3)2+(1−a)(
a
3)+1<0得a>3或a<−
3
2,∴a>3;2°当−1≤
a−1
2≤
a
3即0<a≤3时,
4−(a−1)2
4<0得a<-1或a>3,∴a无解;
综上:a>3. (9分)
(3)据题意有f(x)-1=0有3个不同的实根,g(x)-1=0有2个不同的实根,且这5个实根两两不相等.
(ⅰ)g(x)-1=0有2个不同的实根,只需满足g(
a−1
2)>1⇒a>1或a<−3;
(ⅱ)f(x)-1=0有3个不同的实根,1°当
a
3>a即a<0时,f(x)在x=a处取得极大值,而f(a)=0,不符合题意,舍;2°当
a
3=a即a=0时,不符合题意,舍;3°当
a
3<a即a>0时,f(x)在x=
a
3处取得极大值,f(
a
3)>1⇒a>
3
32
2;所以a>
3
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已知函数f(x)=lnx-(a/x),g(x)=e^x(ax+1),a为常数
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数)急.
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=
已知函数f(x)=log2(x+x/a)为奇函数(a为常数)且x>0时g(x)=f(x),求当x
已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
已知函数f(x)=1/2x2+alnx,g(x)=(a+1)x(a≠-1),H(x)=f(x)-g(x).
已知函数f(x)=ax^2-x+2a-1(a为实常数)
已知函数f(x)=x2+3x|x-a|,其中a∈R.
已知函数f(x)=ax²-|x|+2a-1(a为实常数)
已知函数f(x)=(x²-2x+a)/x,x∈(0,2],其中常数a>0,求函数f(x)的最小值
已知函数f(x)=a+x2+ax+b(a,b为实常数)
已知常数a (a大于0),e为自然对数的底数,函数f(x)=e^x-x,g(x)=x^2-aInx.