作业帮线性代数方程组若干问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/15 04:11:33
线性代数方程组若干问题
1.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=O的通解为?
2.设A=[1,2,-3;4,t,3;3,1,1;-1,-7,-13],B为三阶非零矩阵,且AB=O,则t=?
3.设三阶矩阵A的特征值为2,1,非零矩阵B满足BA=O，则r(B)=?
1.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=O的通解为?
2.设A=[1,2,-3;4,t,3;3,1,1;-1,-7,-13],B为三阶非零矩阵,且AB=O,则t=?
3.设三阶矩阵A的特征值为2,1,非零矩阵B满足BA=O，则r(B)=?
第一题楼上已给出解答,第二题应该有问题
第三题r(B)=1
取B的三个特征值对应的的特征向量分别为a,b,c(均为列向量),由于他们分别对应不同特征值,可见他们是两两线性无关的,同时可以选取他们均不为0
于是A(a b c)=(2a b 0)
两边左乘B得
BA(a b c)=B(2a b 0)
即0=B(2a b 0)下面可以从几何的角度
取B的行向量分别为d,e,f
上式成立则必有d,e,f均同时与a,b正交,而a,b不共线,唯一决定一个平面,从而d,e,f均为该平面的法向量,于是有d,e,f共线,于是B的秩不大于1,又B不为0,r(B)>0
于是r(B)=1
这一题也可以简单做,因为A的三个特征值都给出了,可以取一个特殊的情况,即取A为(2 0 0,0 1 0,0 0 0),于是可知B前两个列向量都是0向量,又B不为0,从而有r(B) =1
第三题r(B)=1
取B的三个特征值对应的的特征向量分别为a,b,c(均为列向量),由于他们分别对应不同特征值,可见他们是两两线性无关的,同时可以选取他们均不为0
于是A(a b c)=(2a b 0)
两边左乘B得
BA(a b c)=B(2a b 0)
即0=B(2a b 0)下面可以从几何的角度
取B的行向量分别为d,e,f
上式成立则必有d,e,f均同时与a,b正交,而a,b不共线,唯一决定一个平面,从而d,e,f均为该平面的法向量,于是有d,e,f共线,于是B的秩不大于1,又B不为0,r(B)>0
于是r(B)=1
这一题也可以简单做,因为A的三个特征值都给出了,可以取一个特殊的情况,即取A为(2 0 0,0 1 0,0 0 0),于是可知B前两个列向量都是0向量,又B不为0,从而有r(B) =1