已知函数f（x）=3ax-2x2+lnx，a为常数．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 10:23:43

已知函数f（x）=3ax-2x²+lnx，a为常数．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

（1）当a=1时，f（x）=3x-2x²+lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f′(x)＝3−4x+
1
x＝
−4x2+3x+1
x＝
−(4x+1)(x−1)
x．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵f′(x)＝3a−4x+
1
x．
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．
∴3a−4x+
1
x≥0，或3a−4x+
1
x≤0在区间[1，2]上恒成立．
即3a≥4x−
1
x，或3a≤4x−
1
x在区间[1，2]上恒成立．
设h（x）=4x−
1
x，
∵h′（x）=4+
1
x2＞0
∴h（x）=4x−
1
x在区间[1，2]上是增函数．
h（x）_max=h（2）=
15
2，h（x）_min=h（1）=3
∴只需3a≥
15
2，或3a≤3．
∴a≥
5
2，或a≤1．

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