已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 21:12:32
已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1
设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明.
设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明.
过定点(0,0).
思路提示:先特殊,后一般.
先考虑动点在椭圆的顶点上,取点(2,0),
设两直线方程分别为:y=k(x-2),y=-1/4k*(x-2),
代入椭圆的方程:x^2/4+y^2=1,得:
M(2(4k^2-1)/(4k^2+1),-4k/(4k^2+1)),N(2(1-4k^2)/(4k^2+1),4k/(4k^2+1))
可知MN过(0,0).( MN的中点为(0,0) )
同理取其他顶点,也可知:MN过(0,0).
再考虑动点不在椭圆的顶点上,
设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)
有 x0^2/4+y0^2=1,.(1)
x1^2/4+y1^2=1.(2)
x2^2/4+y2^2=1.(3)
(1)-(2):-1/4*(x0-x1)(x1+x0)=(y0-y1)(y0+y1)
(y0-y1)/(x0-x1)=-1/4*[(x0+x1)/(y0+y1)]=k1
(1)-(3):-1/4*(x0-x2)(x2+x0)=(y0-y2)(y0+y2)
(y0-y2)/(x0-x2)=-1/4*[(x0+x2)/(y0+y2)]=k2
k1*k2=-1/4
[(y0-y1)/(x0-x1)]*[(y0-y2)/(x0-x2)]=[(y0^2+y1y2)-(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)-(x1+x2)x0]=-1/4
[(y0^2+y1y2)+(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)+(x1+x2)x0]=-1/4
利用比的性质,得:
(y0^2+y1y2)/(x0^2+x1x2)=(y1+y2)y0/(x1+x2)x0=-1/4
y1+y2=-1/4*(y0/x0)*(x1+x2) ( MN中点为:( (y1+y2)/2,(x1+x2)/2) )
所以 y=-1/4(y0/x0)*x
所以此即为直线MN的方程,其过点(0,0).
思路提示:先特殊,后一般.
先考虑动点在椭圆的顶点上,取点(2,0),
设两直线方程分别为:y=k(x-2),y=-1/4k*(x-2),
代入椭圆的方程:x^2/4+y^2=1,得:
M(2(4k^2-1)/(4k^2+1),-4k/(4k^2+1)),N(2(1-4k^2)/(4k^2+1),4k/(4k^2+1))
可知MN过(0,0).( MN的中点为(0,0) )
同理取其他顶点,也可知:MN过(0,0).
再考虑动点不在椭圆的顶点上,
设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)
有 x0^2/4+y0^2=1,.(1)
x1^2/4+y1^2=1.(2)
x2^2/4+y2^2=1.(3)
(1)-(2):-1/4*(x0-x1)(x1+x0)=(y0-y1)(y0+y1)
(y0-y1)/(x0-x1)=-1/4*[(x0+x1)/(y0+y1)]=k1
(1)-(3):-1/4*(x0-x2)(x2+x0)=(y0-y2)(y0+y2)
(y0-y2)/(x0-x2)=-1/4*[(x0+x2)/(y0+y2)]=k2
k1*k2=-1/4
[(y0-y1)/(x0-x1)]*[(y0-y2)/(x0-x2)]=[(y0^2+y1y2)-(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)-(x1+x2)x0]=-1/4
[(y0^2+y1y2)+(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)+(x1+x2)x0]=-1/4
利用比的性质,得:
(y0^2+y1y2)/(x0^2+x1x2)=(y1+y2)y0/(x1+x2)x0=-1/4
y1+y2=-1/4*(y0/x0)*(x1+x2) ( MN中点为:( (y1+y2)/2,(x1+x2)/2) )
所以 y=-1/4(y0/x0)*x
所以此即为直线MN的方程,其过点(0,0).
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