若正数a、b满足ab=a+b+1,求a+b和ab的取值范围,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/01 20:31:12
若正数a、b满足ab=a+b+1,求a+b和ab的取值范围,
这里提供3种做法.
一、基本不等式的做法:
ab=a+b+1≥2√ab+1=>(√ab)^2-2√ab-1≥0
结合a,b>0解得:ab≥3+2√2
a+b+1=ab≤[(a+b)/2]^2=>(a+b)^2-4(a+b)-4≥0
结合a,b>0解得:a+b≥2+2√2
二、韦达定理的做法:
记ab=k>0,则a+b=k-1>0(即k>1)
所以a、b分别为x^2-(k-1)x+k=0的两根
结合f(x)=x^2-(k-1)x+k的图像——f(0)=k>0,对称轴x=(k-1)/2>0,开口向上
要使f(x)=0有a、b两根,需使判别式△≥0=>k≥3+2√2=>k-1≥2+2√2
∴ab≥3+2√2,a+b≥2+2√2
三、函数的做法:
先用a来表示b:b=1+2/(a-1),由b>0得到a>1
记f(a)=ab=a+2a/(a-1)=a+2/(a-1)+2(分离变量)
设t=a-1,则t>0,∴f(a)=t+2/t+3
显然f(a)表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴f(a)∈[3+2√2,+∞],即ab≥3+2√2
同样,记g(a)=a+b=a+2/(a-1)+1
设t=a-1,则t>0,∴g(a)=t+2/t+2
显然g(a)表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴g(a)∈[2+2√2,+∞],即a+b≥2+2√2
不懂可继续追问...
一、基本不等式的做法:
ab=a+b+1≥2√ab+1=>(√ab)^2-2√ab-1≥0
结合a,b>0解得:ab≥3+2√2
a+b+1=ab≤[(a+b)/2]^2=>(a+b)^2-4(a+b)-4≥0
结合a,b>0解得:a+b≥2+2√2
二、韦达定理的做法:
记ab=k>0,则a+b=k-1>0(即k>1)
所以a、b分别为x^2-(k-1)x+k=0的两根
结合f(x)=x^2-(k-1)x+k的图像——f(0)=k>0,对称轴x=(k-1)/2>0,开口向上
要使f(x)=0有a、b两根,需使判别式△≥0=>k≥3+2√2=>k-1≥2+2√2
∴ab≥3+2√2,a+b≥2+2√2
三、函数的做法:
先用a来表示b:b=1+2/(a-1),由b>0得到a>1
记f(a)=ab=a+2a/(a-1)=a+2/(a-1)+2(分离变量)
设t=a-1,则t>0,∴f(a)=t+2/t+3
显然f(a)表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴f(a)∈[3+2√2,+∞],即ab≥3+2√2
同样,记g(a)=a+b=a+2/(a-1)+1
设t=a-1,则t>0,∴g(a)=t+2/t+2
显然g(a)表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴g(a)∈[2+2√2,+∞],即a+b≥2+2√2
不懂可继续追问...
若正数a、b满足ab=a+b+3,求a+b的取值范围
已知正数a,b满足a+b+ab=1,求a+b的取值范围
若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_______. 求过程,.
已知正数a,b满足a+b=1,求ab的取值范围和ab+1/ab的 3Q
1 若正数a ,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?
已知正数a,b满足a+b=1,(1)求ab的取值范围;(2)求ab+1/ab的最小值.求详解,
若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是( )
已知正数a,b满足a+b=1,(1)求ab的取值范围(2)求ab+ab分之1的最小值
已知正数a,b满足a+b=1(1)求ab的取值范围(2)求ab+1/ab的最小值
已知正数a,b满足a+b=1/2 (1)求ab的取值范围(2)求ab+1/ab的最小值
若正数a,b满足ab=a/2+b/3+4,求3a+2b的取值范围,求详解,如题
已知正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围?a+b的取值范围?最好有过程,