∮L xy^2dy-x^2ydx/x^2+y^2 其中L是圆周x^2+y^2=a^2的顺时针方向

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 20:58:23

【L】∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²) 其中L是圆周x²+y²=a²的顺时针方向
P=-x²y/(x²+y²)；∂P/∂y=[-x²(x²+y²)+2x²y²]/(x²+y²)²=x²(y²-x²)/(x²+y²)²；
Q=xy²/(x²+y²)；∂Q/∂x=[y²(x²+y²)-2x²y²]/(x²+y²)²=y²(y²-x²)/(x²+y²)²；
故∂Q/∂x≠∂P/∂y.
把积分路径L的方程改成参数形式：x=acost,y=asint,dx=-asintdt,dy=acostdt；
故∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²)=【0,2π】(1/a²)∫[(asint)(asint)²(acost)-(acost)²(asint)(-asint)]dt
=【0,2π】(a²)∫(sin³tcost+sin²tcos²t)dt=【0,2π】(a²)[∫sin³tcostdt+∫sin²t(1-sin²t)dt]
=【0,2π】(a²)[∫sin³td(sint)+∫sin²tdt-∫sin⁴tdt]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t+∫sin²tdt-(1/4)sin³tcost+(3/4)∫sin²tdt]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/4)∫sin²tdt]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/16)∫(1-cos2t)d(2t)]
=【0,2π】(a²)[(1/4)sin⁴t-(1/4)sin³tcost+(7/16)(2t-sin2t)]
=(7/16)(4π)=(7/4)π
再问：答案不是这个不过还是谢谢你写了那么多
再答：把积分路径L的方程改成参数形式：x=acost，y=asint，dx=-asintdt，dy=acostdt；故∮(xy²dy-x²ydx)/(x²+y²)=【0，2π】(1/a²)∫[(acost)(asint)²(acost)-(acost)²(asint)(-asint)]dt =【0，2π】(a²)∫(sin²tcos²t+sin²tcos²t)dt=【0，2π】(2a²)∫sin²tcos²tdt =【0，2π】(2a²)∫(1/4)sin²2tdt=【0，2π】(a²/2)∫sin²2tdt =【0，2π】(a²/4)∫(1-cos4t)dt=【0，2π】(a²/4)[∫dt-(1/4)∫cos4td(4t)] =【0，2π】(a²/4)[t-(1/4)sin(4t)]=πa²/2. 【一开始就代错一个数：把x=acost代成asint了！这回应该是对的了！】
再问：你还有个方向问题没考虑到应该是负的
再答：没注意你是顺时针方向，那加个负号就行了！

应用格林公式求∫xy^2dy-x^2ydx,其中L是上半圆周x^2+y^2=a从（a,0）到（-a,0）的一段. 求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2的正向, 求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2(a>0)取逆时针方向! 求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2的正方向为什么我算出来是pai*a的4次.和答 L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值（答案是πR^4/2）问一道格林公式的题计算 ∫xy^2dy-x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2.我计算到∫xy^2dy-x^2 计算∫L(x^2-2y)dx+(x+y^2siny)dy,其中L是圆周x^2+y^2=2x的正向曲线, 计算曲面积分∫(y+2xy)dx+(x^2+2x+y^2)dy,其中L是由A(4,0)沿上半圆周y=√(4x-x^2)到求曲线积分∫c xy^2dy-x^2ydx ,其中C是x^2+y^2=4的上半圆沿逆时针方向求过程谢谢求∫L{(x+y)/(x^2+y^2)dx-(x+y)/(x^2+y^2)dy},其中L为圆周x^2+y^2=a^2(按求解微分方程 2ydx+(y^3-x)dy=0 求∮[(X+Y)dX/(X^2+Y^2)-(X-Y)dy/(X^2+Y^2)]（其中L为圆周x^2+y^2=a^2）,逆