已知圆C:(x-2)2+(y-4)2=4,直线l1过原点O(0,0).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 07:10:51
已知圆C:(x-2)2+(y-4)2=4,直线l1过原点O(0,0).
(1)若l1与圆C相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆C相交于不同两点P、Q,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+1=0的交点为N,求证:OM•ON为定值;
(3)求问题(2)中线段MN长的取值范围.
(1)若l1与圆C相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆C相交于不同两点P、Q,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+1=0的交点为N,求证:OM•ON为定值;
(3)求问题(2)中线段MN长的取值范围.
(1)分情况讨论可得,①若直线l1的斜率不存在,即直线是x=0,符合题意.(2分)
②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=kx,即kx-y=0.
由题意知,圆心(2,4)到已知直线l1的距离等于半径2,
即:
|2k−4|
k2+1=2解之得k=
3
4. 所求直线方程是 x=0,或3x-4y=0.(5分)
(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y=0,
由
x+2y+1=0
kx−y=0,得 N(−
1
2k+1,−
k
2k+1),∴ON=
1
(2k+1)2+
k2
(2k+1)2=
1+k2
|2k+1|.
又直线CM与l1垂直,由
y=kx
y−4=−
1
k(x−2),得 M(
4k+2
1+k2,
4k2+2k
1+k2),
∴OM=
[2(2k+1)]2
(1+k2)2+
[2k(2k+1)]2
(1+k2)2=
|2k+1|×2×
1+k2
1+k2,
∴OM•ON=
1+k2|
1
2k+1|•
1+k2|
4k+2
k2+1|=2为定值.(11分)
(3)由OM•ON=2,设OM=x,则x∈(4,2
5],ON=
2
x,
(当OM为圆的切线时,长度最短等于4;当M为圆心时,OM的长度最长等于2
5),
再由MN=OM-ON=x−
2
x在(4,2
5]上单调递增,所以,MN∈(
7
2,
9
5
5].(16分)
②若直线l1斜率存在,设直线l1为y=kx,即kx-y=0.
由题意知,圆心(2,4)到已知直线l1的距离等于半径2,
即:
|2k−4|
k2+1=2解之得k=
3
4. 所求直线方程是 x=0,或3x-4y=0.(5分)
(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y=0,
由
x+2y+1=0
kx−y=0,得 N(−
1
2k+1,−
k
2k+1),∴ON=
1
(2k+1)2+
k2
(2k+1)2=
1+k2
|2k+1|.
又直线CM与l1垂直,由
y=kx
y−4=−
1
k(x−2),得 M(
4k+2
1+k2,
4k2+2k
1+k2),
∴OM=
[2(2k+1)]2
(1+k2)2+
[2k(2k+1)]2
(1+k2)2=
|2k+1|×2×
1+k2
1+k2,
∴OM•ON=
1+k2|
1
2k+1|•
1+k2|
4k+2
k2+1|=2为定值.(11分)
(3)由OM•ON=2,设OM=x,则x∈(4,2
5],ON=
2
x,
(当OM为圆的切线时,长度最短等于4;当M为圆心时,OM的长度最长等于2
5),
再由MN=OM-ON=x−
2
x在(4,2
5]上单调递增,所以,MN∈(
7
2,
9
5
5].(16分)
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已知圆O的方程为x^2+y^2=1,直线L1过点A(3,0)且与圆O相切
已知圆O的方程为x^2+y^2=1,直线L1过点A(3,0)且于圆O相切.
已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4,直线l1过定点A(1,0)