设函数f(x)满足f(0)=0,f(0)的导数存在,令F(x)=∫(0~x)t^(n-1)f(x^(n)-t^(n))d

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 07:42:47

设函数f(x)满足f(0)=0,f(0)的导数存在,令F(x)=∫(0~x)t^(n-1)f(x^(n)-t^(n))dt
求lim（x-0）F(x)x^(-2n)

F'(x)=x^(n-1)f(x^(n)-x^(n))+∫(0~x)t^(n-1)nx^(n-1)f'(x^(n)-t^(n))dt
=nx^(n-1)∫(0~x)t^(n-1)f'(x^(n)-t^(n))dt（因为f(0)=0）
= -x^(n-1)∫(0~x)f'(x^(n)-t^(n))d(x^n-t^n)（因为d(x^n-t^n)= -nt^(n-1)dt）
= -x^(n-1) (f(x^(n)-x^(n))-f(x^(n)-0))（因为∫f'(u)du=f(u)）
=x^(n-1) f(x^(n))
因为x趋于0时,x^(2n)、F(x)趋于0,应用罗必达法则：
lim（x-0）F(x)x^(-2n)=lim（x-0）F‘(x)/(2nx^(2n-1))=lim（x-0）f(x^n)/(2nx^n)=f'(0)/(2n)

设f(x)是可导函数且f(0)=0,F(x)=∫t^(n-1)f(x^n-t^n)dt,求lim(x→+∞)F(x)/x 设函数f(x)具有连续的导数且满足方程,∫(0-x)(x-t+1)f'(t)dt=x^2+e^x-f(x),求f(x) 设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分（上限X下限0）F(1-t)dt]+1,求F(X) 设f(x)=(x^2)ln(1+x),求f(0)的n阶导数.n大于等于3. 设f(x)=(x^3)( |x|),即函数f(x)等于x的三次方乘以x的绝对值,问f(0)存在n阶导数最高阶数n等于多少设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x) 设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x) 已知∫(x,0) f(t-n)e^n dt=sinx,求f(x) 一道高数题,设f(x)=3x^3+x^2 |x|,则使f^n (0)存在的最高阶导数n为多少? 设f(x)=1/(2^x+√2),计算f(0)+f(1),f(-1)+f(-2)的值,猜想f(-n)+f(n+1)= 设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫(上x下0)tf'(x-t)dt求lim(x->-∞)f(x) 8、设f(x)为可导函数,且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x)