作业帮函数(指数函数的单调性)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 22:44:31
已知函数y=x+（2/x）有如下性质：函数在（0，根号2）上是减函数，在[根号2，正无穷）上是增函数。 （1）根据上述性质猜想函数y=x+（a/x） ，且a＞0，在（0，正无穷）上的单调性，并给出证明. （2）设常数c＞4，求函数f（x）=x+（c/x） 1≤x≤2 的最大值和最小值
解题思路： 根据已知特殊条件推导一般结果，并利用单调性证明
解题过程：
解：（1）比较已给函数与猜想函数的形式，可以猜想y=x+a/x在（0，根号a)是减函数，在(根号a,+无穷）为增函数。
设x1<x2且均在（0,根号a)范围内，记g(x)=y=x+a/x
则g(x1)-g(x2)=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=(x1-x2)-[a/(x1*x2)]*(x1-x2)
=[1-a/(x1*x2)]*(x1-x2)
因为x1<x2所以x1-x2<0，又x1,x2均在（0，根号a)范围内，所以1-a/(x1*x2)<0,
所以g(x1)-g(x2)>0，故y=x+a/x在（0，根号a)内为减函数。
同理可证其在（根号a,+无穷）内为增函数。
（2）由第一问结论可知，f(x)=x+c/x在（0，根号c)内为减函数。又c>4，所以
f(x)在[1，2]也为减函数
则f(x)在[1,2]最大值为fmax=f(1)=1+c
最小值为fmin=f(2)=1+c/2
最终答案：略
解题过程：
解：（1）比较已给函数与猜想函数的形式，可以猜想y=x+a/x在（0，根号a)是减函数，在(根号a,+无穷）为增函数。
设x1<x2且均在（0,根号a)范围内，记g(x)=y=x+a/x
则g(x1)-g(x2)=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=(x1-x2)-[a/(x1*x2)]*(x1-x2)
=[1-a/(x1*x2)]*(x1-x2)
因为x1<x2所以x1-x2<0，又x1,x2均在（0，根号a)范围内，所以1-a/(x1*x2)<0,
所以g(x1)-g(x2)>0，故y=x+a/x在（0，根号a)内为减函数。
同理可证其在（根号a,+无穷）内为增函数。
（2）由第一问结论可知，f(x)=x+c/x在（0，根号c)内为减函数。又c>4，所以
f(x)在[1，2]也为减函数
则f(x)在[1,2]最大值为fmax=f(1)=1+c
最小值为fmin=f(2)=1+c/2
最终答案：略