a>0,b>0,a+b=1,求(1)a^2+2b^2的最小值 (2) 根号a加2根号b的最大值
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 22:44:49
a>0,b>0,a+b=1,求(1)a^2+2b^2的最小值 (2) 根号a加2根号b的最大值
(1)
a^2+2b^2=1/3[(√2)^2+1](a^2+2b^2)≥1/3(√2a+√2b)^2 (柯西不等式)
a^2+2b^2≥2/3
当且仅当a=2/3,b=1/3取等.
(2)
5=(1+4)(a+b)≥(√a+2√b)^2
√a+2√b≤√5
当且仅当a=1/5 ,b=4/5时取等.
柯西不等式的一般证法有以下几种:
■①Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用向量来证.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)乘以cosX.
因为cosX小于等于1,所以:a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式.
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.
a^2+2b^2=1/3[(√2)^2+1](a^2+2b^2)≥1/3(√2a+√2b)^2 (柯西不等式)
a^2+2b^2≥2/3
当且仅当a=2/3,b=1/3取等.
(2)
5=(1+4)(a+b)≥(√a+2√b)^2
√a+2√b≤√5
当且仅当a=1/5 ,b=4/5时取等.
柯西不等式的一般证法有以下几种:
■①Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用向量来证.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)乘以cosX.
因为cosX小于等于1,所以:a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式.
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.
设a>=b>=0 求2a+ 根号{1/(2a-b)b } 最小值
a+b=1 ,求根号(a+2)+根号(b+2)的最大值
已知a>b>0,且a²+b²/2=1,求a根号1+b²的最大值
已知a\b为正数,a+b=2,求根号a²+4+根号b²+1的最小值
已知a,b满足根号4a-b+1+(a+2b+7)^2=0,求2a根号b/a*根号-b的值
已知a>=b>o,求a+ 4/根号下(2a-b)b的最小值
若a>0,b>0,且a的平方加2分之b的平方等于1,求a根号下1+b的平方的最大值
若y=根号1-x+根号x-1/2.最大值a.最小值b.求a平方加2b平方
a>0,b>0,且a+b=1,求根号(a+1/2)+根号(b+1/2)的最大值
基本不等式题已知a+b=1,a>0,b>0求 根号(2a+1)+根号(2b+1) 的最大值
已知 a>0 b>0 ,a^2+b^/2=1,则a*根号1+b^2的最大值是?
已知a=2分之1,b=4分之1,求根号a-根号b分之根号b-根号a+根号b分之根号b的值.