求微分方程y'' 4y' 4y=xe^x的通解.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 19:30:45

求微分方程y'' 4y' 4y=xe^x的通解.
是y'' +4y'+ 4y=xe^x

答：
y''+4y'+4y=xe^x
特征方程a^2+4a+4=0
解得：a=-2
齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e^(-2x)
设特解为y*=(ax+b)e^x
y*'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x
y*''=(ax+2a+b)e^x
代入原方程有：
(ax+2a+b)e^x+4(ax+a+b)e^x+4(ax+b)e^x=xe^x
所以：
9ax+6a+9b=x
所以：
9a=1
6a+9b=0
解得：a=1/9,b=-2/27
所以：y*=(1/27)*(3x-2)e^x
所以：通解为y=(C1+C2x)e^(-2x)+(1/27)*(3x-2)e^x

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