如图,对每个正整数n,A n (x n ,y n )是抛物线x 2 =4y上的点,过焦点F的直线FA n 交抛物线于另一
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/06 00:35:40
如图,对每个正整数n,A n (x n ,y n )是抛物线x 2 =4y上的点,过焦点F的直线FA n 交抛物线于另一点B n (s n ,t n ), (Ⅰ)试证:x n s n =-4(n≥1); (Ⅱ)取x n =2 n ,并记C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点.试证:|FC 1 |+|FC 2 |+…+|FC n |=2 n -2 -n+1 +1(n≥1)。 |
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证明:(Ⅰ)对任意固定的n≥1,
因为焦点F(0,1),所以可设直线A n B n 的方程为y-1=
,
将它与抛物线方程
联立得
,
由一元二次方程根与系数的关系得
。
(Ⅱ)对任意固定的n≥1,
利用导数知识易得抛物线
在A n 处的切线的斜率
,
故
在A n 处的切线方程为
,①
类似地,可求得
在B n 处的切线方程为
,②
由②减去①得
,
从而
,
,
,③
将③代入①并注意
得交点C n 的坐标为(
,-1),
由两点间的距离公式得
,
从而
,
现在
,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得,
因为焦点F(0,1),所以可设直线A n B n 的方程为y-1=
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将它与抛物线方程
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/af/0af3d76527cd8eab7c6c1b6d7026da6d.jpg)
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由一元二次方程根与系数的关系得
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(Ⅱ)对任意固定的n≥1,
利用导数知识易得抛物线
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/88/988be4cb11dd0a87d4ddcbff0b4038ed.jpg)
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故
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![](http://img.wesiedu.com/upload/0/1e/01eb876031ed1d6b13669e4bfd2a2075.jpg)
类似地,可求得
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![](http://img.wesiedu.com/upload/d/ce/dce0ea3aa79a8114cf53946f3892896d.jpg)
由②减去①得
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从而
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![](http://img.wesiedu.com/upload/d/5e/d5e5ca9a4a35a967fa69b34dae0c4377.jpg)
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将③代入①并注意
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由两点间的距离公式得
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从而
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/45/845c1500aec270b8479208868e2e2bdc.jpg)
现在
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![](http://img.wesiedu.com/upload/d/6a/d6a64d14c4448ea148acd3003417ce21.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/7e/57ee83615e12aec73074c45d1ff494d3.jpg)
已知抛物线的焦点F在y轴上,抛物线上一点A(a,4)到准线的距离是5,过点F的直线与抛物线交于M、N两点,过M、N两点分
已知圆C:x^2+y^2-4x=a,抛物线y^2=4x,过抛物线焦点F的直线L与圆交于M,N,与抛物线相交于A,B
设抛物线G:y^2=4x的焦点F,过点P(-n,0)(n∈N+)作抛物线G的切线,求切线方程
对正整数n,设抛物线y^2=2(2n+1)x,过点P(2n,0)任作直线l交抛物线于An,Bn两点,求数列(4/向量OA
已知P为抛物线C:y2=4x上的一点,F为抛物线C的焦点,其准线与x轴交于点N,直线NP与抛物线交于另一点Q,且|PF|
顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线C过点P(4,4),过该抛物线焦点F大大的直线交抛物线于A、B两点,点M、N分别为A、B
直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,
已知抛物线x2=4y.过抛物线焦点F,作直线交抛物线于M,N两点
已知抛物线C:y²=4x的准线与x轴交于M点,F为抛物线焦点,N为抛物线上一点,且满足|NF|=√3/2|MN
如图,P是抛物线y=-2x²+4对称轴右侧上一个动点,过P作x轴的平行线和垂线分别交抛物线x轴于点M、N,在过
抛物线y=2x^2+bx+c与y轴交于点C(0,1),过点C的直线MN∥x轴,且与抛物线的另一交点为(-2,n),
如图,过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点,