设n为给定的正整数,设An={x丨2^n < x < 2^n+1,且x=3m,m∈N}.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/03 13:43:15

设n为给定的正整数,设An={x丨2^n < x < 2^n+1,且x=3m,m∈N}.
设n为给定的正整数,设An={x丨2^n < x < 2^n+1,且x=3m,m∈N}.
（1）当n为奇数时,求An中的最大值和最小值.
（2）求An中所有元素之和.

首先,当n为奇数时,我们来看看2^n是不是3的倍数：
2^1=2=3-1
2^3=8=3^2-1
2^5=32=3^11-1
所以猜想当n为奇数时,2^n+1是3的倍数,用数学归纳法来验证
只针对奇数的数学归纳法分为两步：
1.证明当 n = 1 时命题成立.
2.证明如果 n = p 成立,那么可以推导出 n = p+2 也成立.
1) 当 n = 1 时,2^1+1=3,是3的倍数
2) 如果 n = p 时,2^p+1是3的倍数.设2^p+1=3q,q∈N+,则
2^(p+2)+1=(2^2)*(2^p)+1=4*(2^p)+1=4*(2^p)+4-3=4*[(2^p)+1]-3=(4*3q)-3=3(4q-1)
∵q∈N+
∴4q-1∈N+
∴2^(p+2)+1也是3的倍数
∴由1),2)得到,当n为奇数时,2^n+1是3的倍数
我觉得到这里关键的步骤已经做完了,下面的问题就简单了.
然后再来看2^(n+1)
2^(n+1)=2*2^n=2*2^n+2-2=2*(2^n+1)-2
∵2^n+1是3的倍数
∴2^(n+1)-1=2*(2^n+1)-2-1=2*(2^n+1)-3是3的倍数
所以对于An={x|2^n＜x＜2^（n+1）,且x=3m,m∈N+}
当n为奇数时,2^n+1是大于2^n的最小的3的倍数,所以An中x的最小数为2^n+1
当n为奇数时,2^(n+1)-1是小于2^(n+1)的最大的3的倍数,所以An中x的最大数为2^(n+1)-1
∵x=3m,m∈N+
∴An中所有元素构成公差为3的等差数列
∵An中x的最小数为2^n+1,最大数为2^(n+1)-1
∴An中元素的个数为[2^(n+1)-1-(2^n+1)]/3+1=[2*(2^n)-1-(2^n)-1]/3+1=[(2^n)-2]/3+1=[(2^n)+1]/3
∴根据等差数列求和公式：Sn=(a1+an)*n/2(首项加末项乘以项数除以2)
∴SAn={[2^n+1]+[2^(n+1)-1]}*{[(2^n)+1]/3}/2={2^n+1+[(2*2^n)-1]}*[(2^n)+1]/6
∴SAn=[3*(2^n)]*[(2^n)+1]/6=[2^(n-1)]*[(2^n)+1]={[2^(n-1)]*(2^n)}+2^(n-1)=2^(2n-1)+2^(n-1)
再问：第二问还要讨论n为偶数时的情况啊，
再答：你怎么理解题意的呀,在看一遍好吗?
再问： n为奇数是第一问的条件，不是整个题目的条件，所以第二问是要分奇偶的，帮我求一下当n为偶数时，An中所有元素之和，谢谢！~
再答：采纳啊,送分啊

设n为正整数,且x^2n=2,求9(x^3n)^2的值设n为正整数,且X~2n=2,计算（3x~3n)²-4（x²）~2n的值对于集合M、N定义M-N=={X|X属于M且X不属于N},M*N=(M-N)U(N-M).设A={t|t=x^2-3x, 设集合M=[X|X=3M+1,M∈Z】,N=[X|X=3N+2,N∈Z],若A∈M,B∈N,则A-B,AB与集合M,N的若m,n为正整数,设M=2m+1,N=2n-1 集合问题设M｛x丨x=3m+1,m∈Z｝,N｛y丨y=3n+2,n∈Z｝,若Xo∈M,Yo∈N,则XoYo与集合M,N的设全集为R,集合M={x|2x>x+3},N={x|-1 设集合M={x/x=3m+1,m是整数},N={y/y=3n+2,n是整数},若a,b是正整数,则ab与集合M,N的关系设M=【x|x平方+mx+10=0},N={|x平方-3x+n=0}且M交N=｛2｝,求m,n的值,M交N 设不等式（m+n）x+(2m-3n)>0的解为x 1.设集合M={1,3,x},N={x^2-x+1}.若M∪N=M,则x的值为( ) 对于集合M,N,定义M-N={x|x属于M且X不属于N},定义M*N=(M-N)∪(N-M),设M={y|y=x^2,x