作业帮第三问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 21:03:53
在△ABC中，D是∠CAB平分线上的点，过点D作AB的平行线分别与直线AC、BC交于点E、F，
（1）连结BD，若EF=AE+BF（如图1），请说明BD是∠ABC的平分线；
（2）若BD是外角∠CBH的平分线，
①在图2中，AE、BF、EF之间满足什么数量关系，请说明理由；
②若△ABC中，A、B是定点，C是动点，且运动中始终保持∠CAB=m°（m是定值），∠ABC（0°＜∠ABC＜180°）则随着点C的运动而变化．探究：随着∠ABC的不断变化，由①得出的结论始终成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出你的探索结果．
（1）连结BD，若EF=AE+BF（如图1），请说明BD是∠ABC的平分线；
（2）若BD是外角∠CBH的平分线，
①在图2中，AE、BF、EF之间满足什么数量关系，请说明理由；
②若△ABC中，A、B是定点，C是动点，且运动中始终保持∠CAB=m°（m是定值），∠ABC（0°＜∠ABC＜180°）则随着点C的运动而变化．探究：随着∠ABC的不断变化，由①得出的结论始终成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出你的探索结果．
解题思路： （1）根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDA=∠EAD，推出AE=DE，求出DF=BF，推出∠FDB=∠FBD=∠ABD即可． （2）①根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EAD=∠EDA，∠FDB=∠FBD，推出AE=DE，BF=DF即可． ②根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EAD=∠EDA，∠FDB=∠FBD，推出AE=DE，BF=DF即可．
解题过程：
解：（1）∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠BAD，
∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠BAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=ED，
∵EF=AE+BF，
∴DF=BF，
∴∠FBD=∠FDB，
∵EF∥AB，
∴∠FDB=∠DBA，
∴∠FBD=∠DBA，
∴BD平分∠CBA．
（2）①AE=BF+EF，
理由是：∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，∠EDB=∠DBH，
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBH，
∴∠DAB=∠DAE，∠DBH=∠DBC，
∴∠EDA=∠DAE，∠FDB=∠CBD，
∴AE=DE，DF=BF，
∴AE=DE=EF+DF=EF+BF．
②①中的结论始终成立，
理由是：∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，∠EDB=∠DBH，
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBH，
∴∠DAB=∠DAE，∠DBH=∠DBC，
∴∠EDA=∠DAE，∠FDB=∠CBD，
∴AE=DE，DF=BF，
∴AE=DE=EF+DF=EF+BF．
解题过程：
解：（1）∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠BAD，
∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠BAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=ED，
∵EF=AE+BF，
∴DF=BF，
∴∠FBD=∠FDB，
∵EF∥AB，
∴∠FDB=∠DBA，
∴∠FBD=∠DBA，
∴BD平分∠CBA．
（2）①AE=BF+EF，
理由是：∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，∠EDB=∠DBH，
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBH，
∴∠DAB=∠DAE，∠DBH=∠DBC，
∴∠EDA=∠DAE，∠FDB=∠CBD，
∴AE=DE，DF=BF，
∴AE=DE=EF+DF=EF+BF．
②①中的结论始终成立，
理由是：∵EF∥AB，
∴∠EDA=∠DAB，∠EDB=∠DBH，
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBH，
∴∠DAB=∠DAE，∠DBH=∠DBC，
∴∠EDA=∠DAE，∠FDB=∠CBD，
∴AE=DE，DF=BF，
∴AE=DE=EF+DF=EF+BF．