以中点为背景的旋转

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 08:04:35

解题思路：（1）①如图（1）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，根据条件证明△DCG≌△DBE，得DG=DE，CG=BE，易证FD垂直平分线段EG，则FG=FE，把问题转化到△CFG中，运用三边关系比较大小； ②结论：BE2+CF2=EF2．若∠A=90°，则∠B+∠C=90°，可证∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，在Rt△CFG中，由勾股定理探索线段BE、CF、EF之间的数量关系；（2）如图（2），结论：EF=EB+FC．延长AB到M，使BM=CF，根据条件证明△BDM≌△CDF，则DM=DF，再证明△DEM≌△DEF，从而得EF=EM=EB+BM=EB+CF．
解题过程：

（1）①证明：如图（1）延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
∵CD=DB，DG=DE，∠CDG=∠BDE，
∴△DCG≌△DBE，
∴DG=DE，CG=BE，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG=FE，
在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；
②结论：BE²+CF²=EF²．
理由：∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACD=90°，
由①∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠B=90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG²+CF²=FG²，
即BE²+CF²=EF²；

（2）如图（2），结论：EF=EB+FC．
理由：延长AB到M，使BM=CF，
∵∠ABD+∠C=180°，又∠ABD+∠MBD=180°，
∴∠MBD=∠C，而BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠EDB+∠CDF=∠CDB-∠EDF=120°-60°=60°=∠EDF，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF=EM=EB+BM=EB+CF．

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