（2005•哈尔滨）已知：如图，点O2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/04 23:16:26

（2005•哈尔滨）已知：如图，点O₂是⊙O₁上一点，⊙O₂与⊙O₁相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交

⊙O₁、⊙O₂于B、C两点，延长DO₂交⊙O₂于E，交BA延长线于F，BO₂交AD于G，连接AD．
（1）求证：∠BGD=∠C；
（2）若∠DO₂C=45°，求证：AD=AF；
（3）若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根，求BD、BF的长．

（1）证明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分别为⊙O₁、⊙O₂的直径，
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C；

（2）证明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=45°，
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=
1
2（180-∠DO₂C）=67.5°，

∴∠4=22.5°，
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，
∴AD=AF；

（3）∵BF=6CD，
∴设CD=k，则BF=6k，
连接AE，则AE⊥AD，
∴AE∥BC，
∴△FAE∽△FBD，
∴
AE
BD＝
AF
BF，
∴AE•BF=BD•AF，
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO=DO₂，∠AOE=∠DOC，O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，
∴AE=CD=k，
∴6k²=BD•AF=（BC-CD）（BF-AB），
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，
∴BC=AB，
∴6k²=（BC-k）（6k-BC），
∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k，或BC=4k，
当BC=3k时，BD=2k，
∵BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2，BD•BF=12k²=4m²+8，
∴k=
m
2+
1
4，
把BD=2k代入方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0可得，4m²-12m+29=0，
∵△=（-12）²-4×4×29=-320＜0，此方程无实数根，
∴BC=3k舍去，
当BC=4k时，BD=3k，
∴3k+6k=4m+218k²=4m²+8，
整理，得：m²-8m+16=0，解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化为x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12，
∴BD=6，BF=12．

（2003•湖州）已知如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB于D，交⊙O1于E．如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，O2在⊙O1上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为A 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，点O1在⊙O2上，AC是⊙O1的直径，直线CB与⊙O2相交于点D，连AD．已知：如图⊙O1与⊙O2相交于A、B，P是⊙O1上一点，连接PA、PB并延长，分别交⊙O2于C、D，点E是CD上的任意一已知：如图（1），⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不与B重合）．连已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，O1在⊙O2上，⊙O2的弦BC切⊙O1于B，延长BO1、CA交于点P、PB与（2001•武汉）已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D点，连接DA并延长⊙O1相 ⊙O1与⊙O2相交于A,B,⊙O2的圆心在⊙O1上,P为⊙O1上一点,PA的延长线交⊙O2于D点,PB交⊙O2于C点已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于点A,B,P为BA延长线上任意一点,且PC,PD与⊙O1和⊙O2分别切于C,D两点.求证（2006•寿光市模拟）已知两等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点B作任意直线分别与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D 如图已知⊙O1⊙O2相交于A、B两点,C为圆1上的一点,连接CA并延长交⊙O2于D点,连接CB并延长交⊙O2于E点,连接如图+已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,圆O1在圆O2上,AC是圆O1的直径,直线CB与圆O2相交于点D,连接AD