作业帮热传导方程初边值问题求解
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/27 09:57:25
热传导方程初边值问题求解
书上给了一个标准形式的方程的分离变量法求解过程,但是实际上碰到的题目肯定不是标准形式的,比如这道题,我已经化简了,但是接下去该怎么做就不清楚了,希望您能给出答案同时稍加解释
书上给了一个标准形式的方程的分离变量法求解过程,但是实际上碰到的题目肯定不是标准形式的,比如这道题,我已经化简了,但是接下去该怎么做就不清楚了,希望您能给出答案同时稍加解释
第一个式子应该是ut-uxx=-2sinx
先求ut-uxx=0的满足BC和IC的通解,你应该知道怎么求（好多书上都有）.
再找一个特解满足稳定方程（即uxx=-2sinx）以及两个BC.解得u=sin((根号2)*x)+ax+b.再用题中的两个BC来确定a和b的值,你应该会求.
于是,最终的解就是第一个的通解加上后面求的特解.
再问： 事实上我发现自己化简有一点问题，最后的边值问题应该都是0的。 代入的那一步先不考虑，我现在想知道的是初边值条件都是0的话，这个非齐次的方程该怎么处理
再答： 先改正一点，特解应该是u=2sin(x)+ax+b。 当BC都变换为0时（此时IC不是0了），那么u的通解的特征函数只有sin(nx)。那么设u=求和符号(1到无穷)Tn(t)*sin(nx),其中Tn(t)未知待定。再将-2sinx扩展为Fourier级数(这个题较简单，因为它本身已经是Fourier级数了)。然后将两者带回原方程ut-uxx=-2sinx，你就能计算出Tn(t)，它会是一组含有参数（比如Cn）的函数。最后用IC将这些Tn中的参数Cn算出来，最终的解也就出来了。
先求ut-uxx=0的满足BC和IC的通解,你应该知道怎么求（好多书上都有）.
再找一个特解满足稳定方程（即uxx=-2sinx）以及两个BC.解得u=sin((根号2)*x)+ax+b.再用题中的两个BC来确定a和b的值,你应该会求.
于是,最终的解就是第一个的通解加上后面求的特解.
再问： 事实上我发现自己化简有一点问题，最后的边值问题应该都是0的。 代入的那一步先不考虑，我现在想知道的是初边值条件都是0的话，这个非齐次的方程该怎么处理
再答： 先改正一点，特解应该是u=2sin(x)+ax+b。 当BC都变换为0时（此时IC不是0了），那么u的通解的特征函数只有sin(nx)。那么设u=求和符号(1到无穷)Tn(t)*sin(nx),其中Tn(t)未知待定。再将-2sinx扩展为Fourier级数(这个题较简单，因为它本身已经是Fourier级数了)。然后将两者带回原方程ut-uxx=-2sinx，你就能计算出Tn(t)，它会是一组含有参数（比如Cn）的函数。最后用IC将这些Tn中的参数Cn算出来，最终的解也就出来了。