《数列》

要高一数列的知识梳理，谢谢老师了

解题思路： 数列的知识
解题过程：
数列知识点回顾 第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点 ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a与项数n是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列． 2．数列的通项公式 一个数列{ a}的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列{ a}的通项公式。若给出数列{ a}的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ a}的前n项和记为S，则S与a的关系是：a=。 第二部分：等差数列 1．等差数列定义的几个特点： ⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a－a(n≥2)或d = a－a (nN)． ⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，a－a= d (n≥2)或d = a－a都成立．一般采用的形式为： ① 当n≥2时，有a－a= d (d为常数)． ②当n时，有a－a= d (d为常数)． ③当n≥2时，有a－a= a－a成立． 若判断数列{ a}不是等差数列，只需有a－a≠a－a即可． 2．等差中项 若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 3．等差数列的基本性质 ⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d． ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd． ⑶若{ a}、{ b}为等差数列，则{ a±b}与{ka＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列． ⑷对任何m、n，在等差数列{ a}中有：a= a+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性． ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+ a+ a+ … = a+ a+ a+ … ． ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)． ⑺如果{ a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a}中，a－a= a－a= md ．(其中m、k、) ⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项． ⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数． ⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠－1），则a=． 4．等差数列前n项和公式S=与S= na＋的比较 前n项和公式 公式适用范围 相同点 S= 用于已知等差数列的首项和末项 都是等差数列的前n项和公式 S= na＋ 用于已知等差数列的首项和公差 5．等差数列前n项和公式S的基本性质 ⑴数列{ a}为等差数列的充要条件是：数列{ a}的前n项和S可以写成S= an+ bn的形式(其中a、b为常数)． ⑵在等差数列{ a}中，当项数为2n (nN)时，S－S= nd，=；当项数为(2n－1) (n)时，S－S= a，=． ⑶若数列{ a}为等差数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等差数列，公差为． ⑷若两个等差数列{ a}、{ b}的前n项和分别是S、T(n为奇数)，则=． ⑸在等差数列{ a}中，S= a，S= b (n＞m)，则S=(a－b)． ⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y =x + (a－)上． ⑺记等差数列{a}的前n项和为S．①若a＞0，公差d＜0，则当a≥0且a≤0时，S最大；②若a＜0 ，公差d＞0，则当a≤0且a≥0时，S最小． 第三部分：等比数列 1．正确理解等比数列的含义 ⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q = (n)或q = (n≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n，= q；或= q (n≥2)都成立． 2．等比中项与等差中项的主要区别 如果G是a与b的等比中项，那么=，即G= ab，G =±．所以，只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b没有同号的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同． 3．等比数列的基本性质 ⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q( m为等距离的项数之差)． ⑵对任何m、n，在等比数列{ a}中有：a= a· q，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性． ⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a}为等比数列时，有：a．a．a．… = a．a．a．… ．． ⑷若{ a}是公比为q的等比数列，则{| a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q}、{q}、{}． ⑸如果{ a}是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，…，a，…是以q为公比的等比数列． ⑹如果{ a}是等比数列，那么对任意在n，都有a·a= a·q＞0． ⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积． ⑻当q＞1且a＞0或0＜q＜1且a＜0时，等比数列为递增数列；当a＞0且0＜q＜1或a＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列． 4．等比数列前n项和公式S的基本性质 ⑴如果数列{a}是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S= 也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论． ⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=． ⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S= S＋qS．⑵ ⑷若数列{ a}为等比数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等比数列． ⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列． 二、难点突破 1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的． 2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项． 3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a}与a是不同的，前者表示数列a，a，…，a，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a，a，…，a，…，与集合{ a，a，…，a，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性． 4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即： ⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq， aq， a，aq，aq，…； ⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq， aq， aq，aq，…． 5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a≠0，因为当a= 0时，虽有a= a· a成立，但{a}不是等比数列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清． 6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错． 数列基础知识定时练习题 （满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项 （ ） （A）380 （B）39 （C）35 （D）23 2．在等差数列中，公差，，则的值为（ ） （A）40 （B）45 （C）50 （D）55 3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） （A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003 4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 5．已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（ ） （A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或 6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是（ ） （A） （B） （C）≤ （D）≤3 7．如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ） （A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 8．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.45 9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A.5 B.4 C. 3 D. 2 10．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（ ） A．4 B．2 C．－2 D．－4 11．在等比数列｛a_n｝中，a₁＝1，a₁₀＝3，则a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ = （ ） A. 81 B. 27 C. D. 243 12． 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ） (A) (B) (C) (D) 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 13．设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ） A． B． C． D． 14．设是等差数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 15．设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则 ＝ （ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列中，，且，则 ． 2．等比数列的前三项为，，，则 3． 若数列满足：，2，3….则　　　　　　. 4．设为等差数列的前n项和，＝14，S₁₀－＝30，则S₉＝　　　　. 5．在数列中，若，，则该数列的通项 。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知为等比数列，，求的通项式。 2．设等比数列的前n项和为， 3． 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n . 4．数列的前项和记为 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。 四、附加题（20分） 某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？ 1. A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B 8.B 解：在等差数列中，已知∴ d=3，a₅=14，=3a₅=42，选B. 9.C 解：，故选C. 10. D 解：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D 11.A 解：因为数列｛a_n｝是等比数列，且a₁＝1，a₁₀＝3，所以a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉＝ （a₂a₉）（a₃a₈）（a₄a₇）（a₅a₆）＝（a₁a₁₀）⁴＝3⁴＝81，故选A 12.C 【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列， 则 即，所以，故选择答案C。 13.B 【解析】是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴ d=3，，，选B. 14. D 【解析】是等差数列的前项和，若 ∴ ，选D. 15.A 解析:由等差数列的求和公式可得且 所以,故选A 二、填空题 1. 99 2. 3. 解：数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ . 4.解：设等差数列的首项为a₁，公差为d，由题意得 ，联立解得a₁=2,d=1，所以S₉＝ 5.解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n－1 三、解答题 1.解: 设等比数列{a_n}的公比为q, 则q≠0, a₂= = , a₄=a₃q=2q 所以 + 2q= , 解得q₁= , q₂= 3, 当q₁=, a₁=18.所以 a_n=18×()^n－1= = 2×3^3－n. 当q=3时, a₁= , 所以a_n=×3n－1=2×3^n－3. 2.解：设的公比为q，由，所以得…① ……②由①、②式得整理得解得 所以 q＝2或q＝－2 将q＝2代入①式得，所以 将q＝－2代入①式得，所以 3.解析：解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ① ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3． 又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 ∵a_n+a_n－1>0 ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)． 当a₁=3时，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比数列∴a₁≠3; 当a₁=2时，a₃=12， a₁₅=72， 有a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3． 附加题 解: 引入字母,转化为递归数列模型. 设第n次去健身房的人数为a_n，去娱乐室的人数为b_n，则. . ，于是 即 . .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右. 4.解：（Ⅰ）由可得，两式相减得 又 ∴ 故是首项为，公比为得等比数列 ∴ （Ⅱ）设的公差为 由得，可得，可得 故可设 又 由题意可得 解得 ∵等差数列的各项为正，∴ ∴ ∴
最终答案：略