作业帮与圆有关的综合题（急）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/06 21:10:36
与圆有关的综合题（急）
已知,在圆O中,延长直径DC至P,作PA切圆O于A,弦AB交CD与H,且弧AD等于弧DB,OH：HC=1：2,PC=6
（1）求圆O半径
（2）在弧BC上取一点E（E不与B,C重合）,射线PE和圆O交于F,当E在弧BC上移动时,问PF是否和HE构成函数关系,若是,求出解析式并求出自变量的取值范围；若不是,证明PF的长与HE的长无关.
发不上来图.急用,
已知,在圆O中,延长直径DC至P,作PA切圆O于A,弦AB交CD与H,且弧AD等于弧DB,OH：HC=1：2,PC=6
（1）求圆O半径
（2）在弧BC上取一点E（E不与B,C重合）,射线PE和圆O交于F,当E在弧BC上移动时,问PF是否和HE构成函数关系,若是,求出解析式并求出自变量的取值范围；若不是,证明PF的长与HE的长无关.
发不上来图.急用,
（1） 如图所示,设OH＝x,则HC＝2x,OA＝3x
由于弧AD等于弧DB,而DC是直径,所以AB⊥DC
又PA是切线,即△OAP是直角三角形
则由直角三角形基本性质知：OA^2＝OH•OP
即：（3x）^2＝x•(x+2x+6)
整理得：x^2－1＝0,所以x＝1
则OA＝3x＝3,即圆O半径为3
（2） 由（1）中结论知,DC＝6,OP＝9
则由切割线定理知,PE•PF＝PC•PD＝6×（6＋6）＝72
因此PF＝72/PE
要考虑PF与HE的关系,我们可以考虑HE与PE的关系
连接OE,在△OHE和△OPE中,分别运用余弦定理有：
HE^2＝OE^2＋OH^2－2OE•OH•cos∠EOH＝9＋1－2×3×1×cos∠EOH＝10－6 cos∠EOH
PE^2＝OE^2＋OP^2－2OE•OP•cos∠EOH＝9＋81－2×3×9×cos∠EOH＝90－54 cos∠EOH
由上述二式知,cos∠EOH＝（10－HE^2）/6＝（90－PE^2）/54
于是,90－9 HE^2＝90－PE^2
所以PE＝3HE
故PF＝72/3HE＝24/HE,即PF与HE满足函数关系
由于HE^2＝10－6 cos∠EOH,其中0<∠EOH<∠BOH<90°
所以HE是随∠EOH的大小单调变化的,又HB＝√（3^2－1^2）＝2√2
因此HC<HE<HB,即2<HE<2√2
由于弧AD等于弧DB,而DC是直径,所以AB⊥DC
又PA是切线,即△OAP是直角三角形
则由直角三角形基本性质知：OA^2＝OH•OP
即：（3x）^2＝x•(x+2x+6)
整理得：x^2－1＝0,所以x＝1
则OA＝3x＝3,即圆O半径为3
（2） 由（1）中结论知,DC＝6,OP＝9
则由切割线定理知,PE•PF＝PC•PD＝6×（6＋6）＝72
因此PF＝72/PE
要考虑PF与HE的关系,我们可以考虑HE与PE的关系
连接OE,在△OHE和△OPE中,分别运用余弦定理有：
HE^2＝OE^2＋OH^2－2OE•OH•cos∠EOH＝9＋1－2×3×1×cos∠EOH＝10－6 cos∠EOH
PE^2＝OE^2＋OP^2－2OE•OP•cos∠EOH＝9＋81－2×3×9×cos∠EOH＝90－54 cos∠EOH
由上述二式知,cos∠EOH＝（10－HE^2）/6＝（90－PE^2）/54
于是,90－9 HE^2＝90－PE^2
所以PE＝3HE
故PF＝72/3HE＝24/HE,即PF与HE满足函数关系
由于HE^2＝10－6 cos∠EOH,其中0<∠EOH<∠BOH<90°
所以HE是随∠EOH的大小单调变化的,又HB＝√（3^2－1^2）＝2√2
因此HC<HE<HB,即2<HE<2√2