矩阵A的特征值为λ则λ的负一次幂是A逆的特征值对吗?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 08:18:35

先改写一下说法,因为矩阵的特征值数量不一定只有一个.改写如下：
命题1：k为矩阵A的非零特征值,则k的负一次幂是A逆的特征值对吗?
答：在前提A可逆之下,此命题成立.否则,视A逆为广义逆,估计也成立,我未加严格论证.
我们这里设A可逆.
命题1证明如下：
设方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ,故Eξ=A^(-1)*kξ,故A^(-1)*ξ=1/k * ξ
命题一得证.
命题2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,f(A)是关于A的多项式,则：
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明：设A的特征值k对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ,递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ.得征.
依命题1,命题2,有命题3：
方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时,f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).

设λ是n阶矩阵A的特征值则是A平方的特征值 λ=2是可逆矩阵A的一个特征值,则A-2A^-1的特征值为已知可逆矩阵A的一个特征值为λ,且|A|=负2,则A*+3A-2E的特征值为多少? 已知n价可逆矩阵A的特征值为λ,则矩阵(2A)^(-1)的特征值为? 设X是矩阵A的特征值,则A的逆的特征值?A的转置的特征值? 设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是（　　）设λ是矩阵A为的特征值,则矩阵4A^3-2A^2+3A-2E的一个特征值为已知3阶矩阵A的特征值为1、2、-3,则它的逆矩阵的特征值是? 若矩阵A的特征值为λ,（1）A^-1特征值1/λ,（2）A-E的特征值是λ-1 设A为n阶反称矩阵,证明:如果入.是矩阵A的特征值,则 -入.也是A的特征值. 设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于? 设2为矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值?