已知函数f（x）=6lnx-ax2-8x+b，其中a，b为常数且x=3是f（x）的一个极值点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/14 10:36:11

已知函数f（x）=6lnx-ax²-8x+b，其中a，b为常数且x=3是f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）若y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围．

（1）∵f（x）=6lnx-ax²-8x+b，
∴f′（x）=
6
x-2ax-8，
又∵x=3是f（x）的一个极值点
∴f′（3）=2-6a-8=0，
则a=-1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由（I）知f（x）=6lnx+x²-8+b．
∴f′（x）=
6
x+2x-8=
2(x2−4x+3)
x．
由f′（x）＞0可得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜3．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）．
（3）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增．
且当x=1或x=3时，f′（x）=0．
∴f′（x）的极大值为f（1）=6ln1+1-8+b=b-7，
f′（x）的极大值为f（3）=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15．
∵当x充分接近0时，f′（x）＜0．当x充分大时，f（x）＞0．
∴要使的f′（x）图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只
需f（1）•f（3）＜0
即（b-7）•（6ln3+b-15）＜0
解得：7＜b＜15-6ln3

已知函数f（x）=4lnx+ax∧2 -6x+b（a,b为常数）,且x=2为f（x）的一个极值点.求a的值求函数f（x 已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值(2)若关于x的不等式f( 已知函数f(x)=ax^4lnx+bx^4-c(x >0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b为常数已知函数f(x)=lnx-bx-a/x(a,b为常数),在x=1时取得极值已知函数f(x)=x^2+ax+b*lnx(x>0,实数a、b为常数）,（1）若a=1,b=-1,求函数f(x)的极值（已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x10 f(x2)>-1/2 B、f(x1) 已知定义在R上的函数f(x)＝x的平方（ax－3）,其中a为常数,若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值. 导数已知x属于（0,1）,f(x)=x3+ax2+x+1,--------*已知函数f（x）有且只有一个极值点,求a的已知函数F(X)=a/x+lnx-1(a是常数) 1.若X=2是函数F(X)的极值点,求曲线 y=f（x）在点（1,f（已知a为常数,函数f(x)=x(lnx一ax)有两个极值点x1,x2(x12/1B,f(x1) 已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1-1/2 B、f(x1) 已知x=1是f(x)=2x+b/x+lnx的极值点