A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA、OB垂直.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 06:54:19

A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA、OB垂直.
（1）求证直线AB恒过一定圆.（2）求1/OA+1/OB的最小值.

10几天了都没人答么,那我来回答你吧~解(1) 设直线 y =kx+m 带入 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ,A(X1,Y1) B(X2,Y2)→(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2*kmx+a^2(m^2-b^2)=0OA⊥OB→ x1x2+y1y2=0 → (1+k^2)x1x2 + km(x1+x2) +m^2 = 0 →（1/(a^2k^2+b^2))*[a^2(m^2-b^2)(1+k^2)-2a^2k^2m^2+m^2(a^2k^2+b^2)]=0→(k^2+1)a^2b^2 = (a^2+b^2)m^2 →m^2/(1+k^2) = a^2b^2/(a^2+b^2)→所以O点到AB的距离d恒定为 ab/√（a^2+b^2) (2)先证明 1/OA^2+1/OB^2 为定值事实上 1/OA^2+1/OB^2 = AB^2/(OA^2*OB^2) = 1/d^2 = (a^2+b^2)/a^2b^2目前网上流传的答案多半是求1/OA+1/OB的最大值,鲜有最小值.笔者先给出求最大值的方法 1/OA+1/OB = (OA+OB)/OA*OB, 但由三角形OAB的面积公式,有OA*OB = AB* d1/OA+1/OB = (OA+OB)/[d*√(OA^2+OB^2)]等价于求 (OA+OB)^2/(OA^2+OB^2) 最值 (OA+OB)^2/(OA^2+OB^2)=[OA^2+OB^2+2OAOB]/(OA^2+OB^2) ≤2(OA^2+OB^2)/(OA^2+OB^2)(因为 OA^2+OB^2≥2OAOB)所以 1/OA+1/OB≤√2（a^2+b^2)/ab 现在回到原题,来探求 1/OA+1/OB 最值.笔者的方法是数形结合.1/OA+1/OB≥1/a+1/b不多说,上图.只希望别被秒删

椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上有两点A、B满足OA垂直于OB（O为坐标原点）,求证：O到直线AB 设A、B是椭圆x^2/4+y^2=1上的两点,O为坐标原点若直线AB在y轴上的截距为4,且OA,OB斜率之和等于2 已知,真线AB交两坐标轴A,B,两点,且OA=OB=1,点P(a,b)是双曲线y=1/2x上的第一象内的点P,作PM垂直抛物线y=2x^2上两点A、B.O为原点,且OA垂直OB,求三角形OAB面积的最小值. 设F1F2分别是椭圆x^2/4+y^2=1的左右焦点,过左焦点F1作直线l与椭圆交于不同的两点A,B,OA垂直于OB时, A.B是抛物线Y^2=2PX(P>0)上的两点,且OA垂直OB,求证直线AB过定点. 设椭圆中心在坐标原点,焦点在X轴上,离心率为E=2分之根号2,它与直线Y＝-X-1相交于A,B 两点,OA垂直于OB, 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)与直线l 2x+y-2=0交于A,B两点,且OA⊥OB,椭直线y=x-2与抛物线y^2=ax相交于A,B两点,且OA垂直OB,求a 设双曲线的顶点是椭圆x＾2/3+y＾2/4=1的焦点,该双曲线又与直线15x-3y+6=0交于A,B两点,且OA⊥OB 抛物线的顶点在原点O,焦点在x轴上,A、B为抛物线上两点,且OA垂直于OB,直线OA的方程为y=2x,AB=5根号3 已知椭圆C,x∧2/4+y²=1,直线L于椭圆C相交于A,B两点,OA向量×OB向量=0,