微积分的知识把所有有关于微积分的一切弄来,还要必须有来源何处

微积分的知识
把所有有关于微积分的一切弄来,还要必须有来源何处

第二讲 微积分基本公式
教学目的：掌握微积分基本公式和变上限积分的性质
难 点：变上限积分的性质与应用
重 点：牛顿----莱布尼兹公式
由上一节可以看到,尽管定积分可以用“和式极限”来计算,但利用定义来计算定积分一般是相当复杂和困难的,有时甚至是不可能的.因此,我们必须寻求计算定积分的简便方法.不难注意到下面的事实：设变速直线运动的速度为 ,路程为 ,则在时间区间 内运动的距离为 ；另一方面,由上节的分析可知,该距离应为 .由此有
(1)
即：在 上的积分等于它的一个原函数在 的增量.这一结论是否具有普遍意义呢?下面来回答这个问题.
1．变上限的积分
设函数 在区间 上连续,,则 在 上连续,故积分 存在,称为变上限的积分.为避免上限与积分变量混淆,将它改记为 .显然,对 上任一点 ,都有一个确定的积分值与之对应(图5－6),所以它在 上定义了一个函数,记作 ．即
.(2)
函数 具有如下重要性质：
定理1 如果 在区间 上连续,则由(2) 式定义的积分上限的函数 在 上可导,且有
.(3)
证 当上限在点 处有增量 时,
．
由于 在此区间连续,由积分中值定理得
( 介于 与 之间).
故
．
当 时,.再由 的连续性得
．
推论 若函数 在区间 连续,则变上限的函数 是 在 上的一个原函数．
由推论可知：连续函数必有原函数.由此证明了上一章给出的原函数存在定理．
例1 求下列函数的导数：
(1) ; (2) .
解 (1) .
(2) .
例2 设 均可导,求 的导数．
解
．
注 是 的复合函数,它由 ,复合而成,求导时要用复合函数求导公式计算,的导数计算与 完全相似．
例3 求极限 .
解 此极限为 型,用洛必达法则求解,故
2．牛顿－莱布尼茨公式
现在我们来证明对任意连续函数与(1)式相应的结论成立.
定理2 牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数,则
(4)
证 由于 与 均为 的原函数,由原函数的性质知
．
上式中令 ,得 ；再令 ,得
．
即
．
公式(4)称为牛顿－莱布尼茨公式.
牛顿－莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的,它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系,因而被称为微积分基本定理.这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法.在运用时常将公式写出如下形式：
(5)
例4 计算 .
解 .
例5 计算 .
解 .
例6 计算 .
解 .
例7 求 .
解 由区间可加性,得
.
例8 求正弦曲线 在 上与 轴所围成的平面图形(图5－7)的面积.
解 这个曲边梯形的面积
．
例9 设 ．求 .
解 因为定积分 是一个常数,所以,可设 =A,故
．
上式两边在[0,1]上积分得
A=
,
移项后,得 ,所以 ．
小结：
1．变上限的积分 如果 在区间 上连续,则有
．
2．牛顿－莱布尼茨公式 ,其中 是 的一个原函数,而原函数可以用不定积分的方法求得．