在△ABC中,AC＞BC,M是它外接圆上包含点C的弧AB的中点,AC上的点X使得MX⊥AC,求证AX=CX+CB

在△ABC中,AC＞BC,M是它外接圆上包含点C的弧AB的中点,AC上的点X使得MX⊥AC,求证AX=CX+CB
据说有九种解法,能回答几种就答几种吧
好的会追加分的!

这个题证明AX=CX+CB,是证明一条线段等于两条线段之和,所以我们自然而然考虑把长线段拆分或者把短线段合并起来.长线段拆分在这个题目里面看起来是不太现实的,而且也无从下手.所以考虑把短线段合并.
于是第一条辅助线是延长AC至D,使得CD=CB.
此时CX+CB就变成了CX+CD,由于X,C,D三个点在一条直线上,所以CX+CD就等于XD.于是,我们要证明的结论就变成了证明AX=XD
再看X点,这是一个特殊点,MX垂直于AC.由于上面说的,我们要证明的结论变成了x点是AD的中点,而又由于MX垂直于AD,自然而然我们就想到了三线合一,我们只需要证明MX是角AMD的平分线就行了.
所以连结AM和MD.此时,你可以选择证明角AMX=角DMX,当然对应的,你也可以证明角MAX=角MDX.效果都是一样的,如果是后者,也可以看做是证明三角形AMX和三角形DMX全等.由于已经有直角和公共边MX,所以只需要再找一个相等的角就行.
再有,我们要利用M点是弧AB的中点这个条件,自然地想到连结OM,则OM垂直于AB,再连结BM,则AM=BM.我们现在是希望证明角相等,所以要利用到CB=CD这个条件,所以连结BD.最后再连结MC.此时图形的辅助线就完全连结完毕.如果你标准作图,相信你就能够看到一些很不错的结论.
后面我就把解题的过程给你说一遍,你看完之后自己去思考思考每一步都是如何想到的,做这一步的目的是啥.想清楚了,这道题你就整明白了.
设角CBD为角1,则角CDB也等于角1.设角MAX为角X,则只需要证明角MDX等于角X,这道题目就解决了.为了方便,我们再设角XAB为角2.
此时,由于M为弧AB中点,则MA=MB,则角MBA=角MAB=角MAX+角XAB=角2+角X.
再有,角MBC=角MAC=角X.
角ACB=2倍角1
角MCA=角MBA=角2+角X
好了,在三角形ABD中,内角和等于180度.则2倍角1+2倍角2+2倍角X=180度,则角1+角2+角X=90度.
再看图形,看起来三角形MCB和三角形MCD是全等的,如果全等,我们就可以证到角MDC=角MBC=角X,这个题目就证出来了.我们现在就去证明这两个三角形全等.
在三角形MCB当中,角MBC=角X,角BCX=2倍角1,角XCM=角2+角X.由我们刚刚得到的2倍角1+2倍角2+2倍角X=180度,可以得到,角BMC=角2.
此时设BM和AD的交点为E
此时角MCD为三角形MEC的外角,所以角MCD=角CME+角MEC
角CME=角2
角MEC为三角形EBC的外角,等于角EBC+角ECB=角X+2倍角1
则角MCD=角2+角X+2倍角1
同时,角MCB=角2+角X+2倍角1,所以角MCD=角MCB
在三角形MCB和三角形MCD当中,MC=MC,角MCB=角MCD,CB=CD.则两三角形全等,则角MDC=角MBC=角X.
则在三角形AMX和三角形DMX当中,角MXA=角MXD=90度,MX=MX,角MAX=角MDX=角X.则两三角形全等（AAS）.则AX=DX.
综上,由于DX=CX+CD,CD=CB,则AX=CX+CB.证明结束