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三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 15:34:06
三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点
三角形ABC的外接圆圆O AM为BC上中线 过B点C点的切线交于X点
证明：AM/AX=cos角ABC
题目有点问题,应该是AM/AX=|cos∠BAC|
题目错写成cos∠ABC,另外当∠BAC是钝角时,显然cos∠BAC是负值.以∠BAC是锐角为例证明,钝角情况类同
证法一：（利用余弦定理和正弦定理）
假设圆O的半径是r
1) 根据余弦定理：
AB^2=BM^2+AM^2-2*BM*AM*cos∠BAM ...(a)
AC^2=CM^2+AM^2-2*CM*AM*cos∠CAM ...(b)
(a)+(b)得：AB^2+AC^2=(1/2)*BC^2+2*AM^2,于是：
AM^2=(1/2)*AB^2+(1/2)*AC^2-(1/4)*BC^2 ...(c)
2) 根据正弦定理,将AB=2*r*cosC,AC=2*r*cosB,BC=2*r*cosA带入(c)式得：
AM^2=r^2*[2*(cosC)^2+2*(cosB)^2-(cosA)^2]
=r^2*[(1-cos(2C))+(1-cos(2B))-(1-(sinA)^2)]
=r^2*[1+cosAcosBcosC+3*cosAsinBsinC]
3) 显然O、M、X三点共线,∠AOX=2*B+A或者∠AOX=2*C+A,无论如何都有cos∠AOX=-cos(B-C).△AOX中运用余弦定理：
AX^2=AO^2+OX^2-2*AO*OX*cos∠AOX
=r^2+(r/cosA)^2+2*r*(r/cosA)*cos(B-C)
=(r/cosA)^2*[(cosA)^2+1+2*cosA*cos(B-C)]
=(r/cosA)^2*[1+cosAcosBcosC+3*cosAsinBsinC]
4) 比如2)、3)的结论可知(AM/AX)^2=(cosA)^2,从而AM/AX=|cosA|
证法二：（纯几何证明）
延长AM交圆O于D,记AX交圆O于E
1) 显然O、M、X三点共线,BM*CM=OM*XM,根据相交弦定理又BM*CM=AM*DM,于是OM*XM=AM*DM,根据相交弦逆定理可知A、O、D、X四点共圆
2) 显然OA=OD,根据同圆中等弦对等角可知∠MXO=∠AXO,即直线XM、XA关于XO对称,自然XM、XA与圆O的近交点D、E关于XO对称
3) B、C同样关于XO对称,所以BD=CE,根据同圆中等弦对等角可知∠BAM=∠EAC
4) 根据3)的结论很容易证明△BAM相似于△EAC,于是BM/AM=CE/AC
5) 根据切割线定理很容易知道CE/AC=CX/AX
6) 比较4)、5)的结论有BM/AM=CX/AX,变形得AM/AX=BM/CX=BM/BX=cosA
如图,在Rt三角形ABC中,斜边BC=12,角C=30,D为BC的中点,三角形ABD的外接圆圆O与AC交于F点,过A作圆 如图,三角形ABC中AD平分角BAC,其延长线交三角形ABC的外接圆圆O于点H,过H作EF平行BC交AC.AB的延长线于 点I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC外接圆圆O于点E,连接BE、CE 如图,三角形ABC中,AB=AC,以AC为直径的圆O交BC于点D,交AB于点E,连接CE,过点D作圆O的切线交AB于点M AB是圆O的直径,BM垂直于AB于B点,点C是射线BM上异于端点的一动点,AC交圆O于D点,过D点作圆O的切线交BC于 如图,三角形ABC内接于圆O,弦AD垂直AB交BC于点E,过点B作圆O的切线交DA的延长线于点F,且角ABF=角ABC. AM是三角形ABC中AB边上的中线,P为BC上任意一点,过点P作AM的平行线,分别交AB,AC（或其延长线）于点Q,R, 已知三角形ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O分别交AC,BC于D,E两点,过B点的切线交OE的延长线于点F,连接F 如图,AB为定长的线段,作半圆OAB.P为半圆上一点,过P点作切线DC交过A点的切线AD、过B点的切线BC交于D、C.连 在rt三角形abc中角c等于90度,角bac的平分线ad交bc与点d点e是ab上一点,以ae为直径的⊙o过点d交ac于点 已知AB为圆O的直径,过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E,AD垂直EC于点D且 交圆O于点F,连接BC,CF,AC 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,过O作OE⊥BC于点E,过C点作⊙O的切线交OE的延长线与点D,连接BD