微分方程 矩阵 x'(t)=x(t)+y(t)+2t y'(t)=x(t)+y(t)-2t

微分方程 矩阵 x'(t)=x(t)+y(t)+2t y'(t)=x(t)+y(t)-2t

两式相加得(x(t)+y(t))'=2(x(t)+y(t)),因此
解为x(t)+y(t)=Ce^(2t).
两式相减得(x(t)－y(t))'=4t,因此
解为x(t)－y(t)=2t^2+D.
解方程组可得
x(t)=Ce^(2t)/2+t^2+D/2,
y(t)=Ce^(2t)/2－t^2－D/2.
再问： 不需要用矩阵对角化来求么？有举例的，但是例子上没有后面的2t那个项，例子中是用矩阵，求D和P，不是很懂，麻烦了..
再答： 可以用，也可以不用。用的话： [x(t)] = 【1 1 [x'(t)] +[2t] （×） [y(t)] 1 1】 [y’(t)] [-2t] 矩阵A的特征值是2和0，对应的特征向量是【1/根号(2) 1/根号(2)】^T 和 【1/根号(2) －1/根号(2)】^T，因此令 Q＝【1/根号(2) 1/根号(2) 1/根号(2) －1/根号(2)】， 则Q^TAQ=D是对角阵，d(11)=2，d(22)=0。 （×）式左乘Q得 Q[x(t)，y(t)]‘^T＝D【Q[x(t)，y(t)]】+Q[2t －2t]^T 然后记左边列向量是z(t)，两个分量是分离的，可以分别求解了。 你自己再求解吧。
再问： 根号2是咋来的T？根号2的次方呢？是哪个T?咋求解？还有后面的那个2t，有的话，跟没有有啥计算的区别？前面计算对角矩阵都会，后面搞不明白，而且题上有x(0)=1 y(0)=3
再答： 你们是怎么用矩阵解微分方程的？这些内容都应该学过了才能用矩阵来求解吧。 x'(t)=Ax(t)+b(t)，这里x(t)，b(t)是向量形式的，思想是分离变量，因此要将A对角化。 所以计算过程：第一步：求出A的特征值，本题是2和0. 第二步，求出对应的特征向量，上面已经写了。 第三步，将特征向量按列排列得到矩阵Q，则必有 Q^(－1)AQ=D是对角阵。本题中的A是对称阵，将两个特征向量单位化（就是都除以根号(2))， 则Q是正交阵，于是Q^(－1)=Q^T，Q^T是Q的转置。 做完这些后，在原微分方程中左乘Q，就变成 【Qx(t)】‘=D*Qx(t)+Qb(t)， 令Qx(t)=y(t)，Qb(t)=c(t)，则有 y‘(t)=D*y(t)+c(t)。这时分离变量形式的， 可以求出每一个分量的解，得到y(t)，然后 x(t)=Q^T*y(t)就得到原方程的解。 如果你不愿意用正交阵，那么就是Q＝【1 1 Q^(－1)=【1 1 1 －1】 1 －1】/2 记Q^(－1)(x(t)，y(t))^T＝(w(t)，z(t))^T，（*1）因此得到 w'(t)=2w(t)，z'(t)=2t，（上面过程一做就得到这个表达式了） 估w(t)=Ce^(2t)，z(t)=t^2+D。 利用已知条件x(0)=1，y(0)=3，即w(0)=2，z(0)＝－1， 因此w(t)=2e^(2t)，z(t)=t^2－1。 再利用(*1)式知道 x(t)=2e^(2t)+t^2－1，y(t)=2e^(2t)+1－t^2。
再问： (x(t)，y(t))^T是(x'(t),y'(t))么？ 单位化是必须的么？没有学过，(w(t)，z(t))^T是什么？设的未知数？ 我们的书上是用P代表Q，书上是用X'=AX X1'=DX1， 没有用到过Q^(－1), 现在的方法我只是不明白（*1）的来源，为什么用Q^(－1)，还有w'(t)=2w(t)，w(t)=Ce^(2t)， 麻烦你了，或者你可以加我好友，我刚才给你发私信了谢谢
再答： 字写得不好看。 1、单位化不是必须的。上面的做法是用正交阵，因此必须单位化。图片上就没有单位化。 2、X'=AX 是矩阵形式，本题中实际上是X'=AX+B(t)，还有后面的非齐次部分。 3、你的P=Q^(--1)。 4、w'(t)=2w(t)，这是常微分的一阶线性齐次微分方程，其解为w(t)=Ce^(2t)。 我觉得既然矩阵形式的都能解了，分量形式的更应该学过了。