微分方程 矩阵 x'(t)=x(t)+y(t)+2t y'(t)=x(t)+y(t)-2t
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/31 02:30:02
微分方程 矩阵 x'(t)=x(t)+y(t)+2t y'(t)=x(t)+y(t)-2t
两式相加得(x(t)+y(t))'=2(x(t)+y(t)),因此
解为x(t)+y(t)=Ce^(2t).
两式相减得(x(t)-y(t))'=4t,因此
解为x(t)-y(t)=2t^2+D.
解方程组可得
x(t)=Ce^(2t)/2+t^2+D/2,
y(t)=Ce^(2t)/2-t^2-D/2.
再问: 不需要用矩阵对角化来求么?有举例的,但是例子上没有后面的2t那个项,例子中是用矩阵,求D和P,不是很懂,麻烦了..
再答: 可以用,也可以不用。用的话: [x(t)] = 【1 1 [x'(t)] +[2t] (×) [y(t)] 1 1】 [y’(t)] [-2t] 矩阵A的特征值是2和0,对应的特征向量是【1/根号(2) 1/根号(2)】^T 和 【1/根号(2) -1/根号(2)】^T,因此令 Q=【1/根号(2) 1/根号(2) 1/根号(2) -1/根号(2)】, 则Q^TAQ=D是对角阵,d(11)=2,d(22)=0。 (×)式左乘Q得 Q[x(t),y(t)]‘^T=D【Q[x(t),y(t)]】+Q[2t -2t]^T 然后记左边列向量是z(t),两个分量是分离的,可以分别求解了。 你自己再求解吧。
再问: 根号2是咋来的T?根号2的次方呢?是哪个T?咋求解?还有后面的那个2t,有的话,跟没有有啥计算的区别?前面计算对角矩阵都会,后面搞不明白,而且题上有x(0)=1 y(0)=3
再答: 你们是怎么用矩阵解微分方程的?这些内容都应该学过了才能用矩阵来求解吧。 x'(t)=Ax(t)+b(t),这里x(t),b(t)是向量形式的,思想是分离变量,因此要将A对角化。 所以计算过程:第一步:求出A的特征值,本题是2和0. 第二步,求出对应的特征向量,上面已经写了。 第三步,将特征向量按列排列得到矩阵Q,则必有 Q^(-1)AQ=D是对角阵。本题中的A是对称阵,将两个特征向量单位化(就是都除以根号(2)), 则Q是正交阵,于是Q^(-1)=Q^T,Q^T是Q的转置。 做完这些后,在原微分方程中左乘Q,就变成 【Qx(t)】‘=D*Qx(t)+Qb(t), 令Qx(t)=y(t),Qb(t)=c(t),则有 y‘(t)=D*y(t)+c(t)。这时分离变量形式的, 可以求出每一个分量的解,得到y(t),然后 x(t)=Q^T*y(t)就得到原方程的解。 如果你不愿意用正交阵,那么就是Q=【1 1 Q^(-1)=【1 1 1 -1】 1 -1】/2 记Q^(-1)(x(t),y(t))^T=(w(t),z(t))^T,(*1)因此得到 w'(t)=2w(t),z'(t)=2t,(上面过程一做就得到这个表达式了) 估w(t)=Ce^(2t),z(t)=t^2+D。 利用已知条件x(0)=1,y(0)=3,即w(0)=2,z(0)=-1, 因此w(t)=2e^(2t),z(t)=t^2-1。 再利用(*1)式知道 x(t)=2e^(2t)+t^2-1,y(t)=2e^(2t)+1-t^2。
再问: (x(t),y(t))^T是(x'(t),y'(t))么? 单位化是必须的么?没有学过,(w(t),z(t))^T是什么?设的未知数? 我们的书上是用P代表Q,书上是用X'=AX X1'=DX1, 没有用到过Q^(-1), 现在的方法我只是不明白(*1)的来源,为什么用Q^(-1),还有w'(t)=2w(t),w(t)=Ce^(2t), 麻烦你了,或者你可以加我好友,我刚才给你发私信了谢谢
再答: 字写得不好看。 1、单位化不是必须的。上面的做法是用正交阵,因此必须单位化。图片上就没有单位化。 2、X'=AX 是矩阵形式,本题中实际上是X'=AX+B(t),还有后面的非齐次部分。 3、你的P=Q^(--1)。 4、w'(t)=2w(t),这是常微分的一阶线性齐次微分方程,其解为w(t)=Ce^(2t)。 我觉得既然矩阵形式的都能解了,分量形式的更应该学过了。
解为x(t)+y(t)=Ce^(2t).
两式相减得(x(t)-y(t))'=4t,因此
解为x(t)-y(t)=2t^2+D.
解方程组可得
x(t)=Ce^(2t)/2+t^2+D/2,
y(t)=Ce^(2t)/2-t^2-D/2.
再问: 不需要用矩阵对角化来求么?有举例的,但是例子上没有后面的2t那个项,例子中是用矩阵,求D和P,不是很懂,麻烦了..
再答: 可以用,也可以不用。用的话: [x(t)] = 【1 1 [x'(t)] +[2t] (×) [y(t)] 1 1】 [y’(t)] [-2t] 矩阵A的特征值是2和0,对应的特征向量是【1/根号(2) 1/根号(2)】^T 和 【1/根号(2) -1/根号(2)】^T,因此令 Q=【1/根号(2) 1/根号(2) 1/根号(2) -1/根号(2)】, 则Q^TAQ=D是对角阵,d(11)=2,d(22)=0。 (×)式左乘Q得 Q[x(t),y(t)]‘^T=D【Q[x(t),y(t)]】+Q[2t -2t]^T 然后记左边列向量是z(t),两个分量是分离的,可以分别求解了。 你自己再求解吧。
再问: 根号2是咋来的T?根号2的次方呢?是哪个T?咋求解?还有后面的那个2t,有的话,跟没有有啥计算的区别?前面计算对角矩阵都会,后面搞不明白,而且题上有x(0)=1 y(0)=3
再答: 你们是怎么用矩阵解微分方程的?这些内容都应该学过了才能用矩阵来求解吧。 x'(t)=Ax(t)+b(t),这里x(t),b(t)是向量形式的,思想是分离变量,因此要将A对角化。 所以计算过程:第一步:求出A的特征值,本题是2和0. 第二步,求出对应的特征向量,上面已经写了。 第三步,将特征向量按列排列得到矩阵Q,则必有 Q^(-1)AQ=D是对角阵。本题中的A是对称阵,将两个特征向量单位化(就是都除以根号(2)), 则Q是正交阵,于是Q^(-1)=Q^T,Q^T是Q的转置。 做完这些后,在原微分方程中左乘Q,就变成 【Qx(t)】‘=D*Qx(t)+Qb(t), 令Qx(t)=y(t),Qb(t)=c(t),则有 y‘(t)=D*y(t)+c(t)。这时分离变量形式的, 可以求出每一个分量的解,得到y(t),然后 x(t)=Q^T*y(t)就得到原方程的解。 如果你不愿意用正交阵,那么就是Q=【1 1 Q^(-1)=【1 1 1 -1】 1 -1】/2 记Q^(-1)(x(t),y(t))^T=(w(t),z(t))^T,(*1)因此得到 w'(t)=2w(t),z'(t)=2t,(上面过程一做就得到这个表达式了) 估w(t)=Ce^(2t),z(t)=t^2+D。 利用已知条件x(0)=1,y(0)=3,即w(0)=2,z(0)=-1, 因此w(t)=2e^(2t),z(t)=t^2-1。 再利用(*1)式知道 x(t)=2e^(2t)+t^2-1,y(t)=2e^(2t)+1-t^2。
再问: (x(t),y(t))^T是(x'(t),y'(t))么? 单位化是必须的么?没有学过,(w(t),z(t))^T是什么?设的未知数? 我们的书上是用P代表Q,书上是用X'=AX X1'=DX1, 没有用到过Q^(-1), 现在的方法我只是不明白(*1)的来源,为什么用Q^(-1),还有w'(t)=2w(t),w(t)=Ce^(2t), 麻烦你了,或者你可以加我好友,我刚才给你发私信了谢谢
再答: 字写得不好看。 1、单位化不是必须的。上面的做法是用正交阵,因此必须单位化。图片上就没有单位化。 2、X'=AX 是矩阵形式,本题中实际上是X'=AX+B(t),还有后面的非齐次部分。 3、你的P=Q^(--1)。 4、w'(t)=2w(t),这是常微分的一阶线性齐次微分方程,其解为w(t)=Ce^(2t)。 我觉得既然矩阵形式的都能解了,分量形式的更应该学过了。
用Matlab编程求解 二阶微分方程:4*d^2y(t)/dt^2+y(t)=dx(t)/d(t)-0.5x(t)
如何x(t)=cos(t)+asin(t) y(t)=sin(t)+bcos(t) expressing x(t) in
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T Y X
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