作业帮圆锥截面问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/20 08:27:52
已知底面半径为3，高为4的圆锥，过圆锥的顶点作一个截面，则面积最大的截面的面积是多少？
解题思路： 圆锥的过顶点的截面一定是等腰三角形，顶角θ是变量. 当轴截面顶角是锐角（或直角）时，轴截面最大； 当轴截面顶角是钝角时，不是轴截面最大，而是顶角为90°的那个截面最大。详情见解答过程。
解题过程：
已知底面半径为3，高为4的圆锥，过圆锥的顶点作一个截面，则面积最大的截面的面积是多少？
解：如图，设圆锥的轴截面为△PAB，O为底面中心， 由 底面半径AO＝3，高PO＝4， 可得： 母线为5， 设过顶点P的截面为△PAM， 设 ∠APM＝
， ∵ PA＝PM＝5是定值， ∴ 截面△PAM的面积为
， ∵ 底面弦AM的最大值为AB＝6， ∴ △OAM的顶角的最大值为∠APB， 注意到 AO＝3，PO＝4， 有 ∠APO
， ∴ ∠APB为锐角， ∵ 
， ∴ 
， 当截面变化时，
（锐角）， ∴ 
的最大值为
， ∴ 截面△PAM的面积为
的最大值为 12 . 即 该圆锥的过顶点的截面的最大面积为 12 . 【注】：本题解释了这么多，注要是想强调“ 轴截面顶角APB是锐角时，截面PAM的最大截面就是轴截面△PAB” 。 但是， 如果轴截面是钝角，则截面OAM的最大位置就不是轴截面△PAB了。 比如：将已知数据换成AO＝4，PO＝3， 则 ∠APO
，∴ ∠APB是钝角， 当截面变化时，（钝角）， 这个范围内含有“
” ∴ 的最大值为 
（在
时取得，而不是轴截面！！！）， 故 截面△PAM的面积为的最大值为 
.
同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 .
最终答案：略
解题过程：
已知底面半径为3，高为4的圆锥，过圆锥的顶点作一个截面，则面积最大的截面的面积是多少？
解：如图，设圆锥的轴截面为△PAB，O为底面中心， 由 底面半径AO＝3，高PO＝4， 可得： 母线为5， 设过顶点P的截面为△PAM， 设 ∠APM＝， ∵ PA＝PM＝5是定值， ∴ 截面△PAM的面积为， ∵ 底面弦AM的最大值为AB＝6， ∴ △OAM的顶角的最大值为∠APB， 注意到 AO＝3，PO＝4， 有 ∠APO， ∴ ∠APB为锐角， ∵ ， ∴ ， 当截面变化时，（锐角）， ∴ 的最大值为， ∴ 截面△PAM的面积为的最大值为 12 . 即 该圆锥的过顶点的截面的最大面积为 12 . 【注】：本题解释了这么多，注要是想强调“ 轴截面顶角APB是锐角时，截面PAM的最大截面就是轴截面△PAB” 。 但是， 如果轴截面是钝角，则截面OAM的最大位置就不是轴截面△PAB了。 比如：将已知数据换成AO＝4，PO＝3， 则 ∠APO，∴ ∠APB是钝角， 当截面变化时，（钝角）， 这个范围内含有“” ∴ 的最大值为 （在时取得，而不是轴截面！！！）， 故 截面△PAM的面积为的最大值为 . 同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 .
最终答案：略