已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 11:14:25

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数m的取值范围．

（1）g'（x）=3x²+2mx-n，
由题意得

g′(1)＝0
4m2+12n＞0，∴n=2m+3（m≠-3）．
（2）由（1）知：g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g'（x）=0，得x1＝1，x2＝−1−
2m
3(m≠−3)
①当1＞−1−
2m
3，即m＞-3时，由g'（x）＞0得x＜−1−
2m
3或x＞1，
∴g（x）的单调递增区间是(−∞，−1−
2m
3)，(1，+∞)；
②当1＜−1−
2m
3，即m＜-3时，由g'（x）＞0得x＜1或x＞−1−
2m
3，
∴g（x）的单调递增区间是(−∞，1)，(−1−
2m
3，+∞)．
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x²+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得m≥lnx−
3
2x−
1
2x在x∈（0，+∞）上恒成立，
设h(x)＝lnx−
3
2x−
1
2x，
则h′(x)＝
1
x−
3
2+
1
2x2＝−
(x−1)(3x+1)
2x2，
令h'（x）=0，得x＝1，x＝−
1
3（舍），
∵当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范围是[-2，+∞）

已知函数f（x）=x3+mx2+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x的图象关于y轴对称．已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m>0）有极大值9，求m的值．已知函数f（x）=2mx2-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m>0）有极大值9．（2014•红桥区二模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1在x=负三分之二与x=1处都取得极值,求实数m,n的值和函数f(x)的单调递减区已知函数f（x）=xlnx 已知函数f（x）=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m范围为______．已知函数f(x)=x3 mx2 nx 1在x=-2/3与x=1处取得极值；1)求实数m.n的值2)f(x)的单调递减区间设f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．设f(x)＝ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．已知二次函数f（x）=mx2+（m-3）x+1，对于任意实数x，恒有f（x）≤f（m）（m为常数），求m的值．