1^2+2^2+3^2+…+(2n)^2=1/3n(2n+1)(4n+1) 用数学归纳法证明.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 10:43:44
1^2+2^2+3^2+…+(2n)^2=1/3n(2n+1)(4n+1) 用数学归纳法证明.
1)n=1时,左=1^2+2^2=5,右=1/3*1*3*5=5,左=右,命题成立.
2)设当n=k时,命题成立,即
1^2+2^2+3^2+...+(2k)^2=1/3*k(2k+1)(4k+1)
则当n=k+1时,
1^2+2^2+3^2+...+(2k)^2+(2k+1)^2+(2k+2)^2
=1/3*k(2k+1)(4k+1)+(2k+1)^2+(2k+2)^2
=1/3(2k+1)*[k(4k+1)+3(2k+1)]+4(k+1)^2
=1/3(2k+1)*(4k^2+7k+3)+4(k+1)^2
=1/3(2k+1)(k+1)(4k+3)+4(k+1)^2
=1/3(k+1)*[(2k+1)(4k+3)+12(k+1)]
=1/3(k+1)(8k^2+22k+15)
=1/3(k+1)(2k+3)(4k+5)
就是说,当n=k+1时,命题也成立.
根据1)、2)可知,命题对所有正整数n都成立.
2)设当n=k时,命题成立,即
1^2+2^2+3^2+...+(2k)^2=1/3*k(2k+1)(4k+1)
则当n=k+1时,
1^2+2^2+3^2+...+(2k)^2+(2k+1)^2+(2k+2)^2
=1/3*k(2k+1)(4k+1)+(2k+1)^2+(2k+2)^2
=1/3(2k+1)*[k(4k+1)+3(2k+1)]+4(k+1)^2
=1/3(2k+1)*(4k^2+7k+3)+4(k+1)^2
=1/3(2k+1)(k+1)(4k+3)+4(k+1)^2
=1/3(k+1)*[(2k+1)(4k+3)+12(k+1)]
=1/3(k+1)(8k^2+22k+15)
=1/3(k+1)(2k+3)(4k+5)
就是说,当n=k+1时,命题也成立.
根据1)、2)可知,命题对所有正整数n都成立.
用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2
用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4(n∈N
用数学归纳法证明:-1+3-5+...+(-1)n*(2n-1)=(-1)n*n
用数学归纳法证明(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3,n∈N+)
用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N
用数学归纳法证明:1*n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)在线等
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)
用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)
用数学归纳法证明恒等式:1+2+3+...+n^2 = (n^4+n^2)/2
用数学归纳法证明1+4+7+...+(3n-2)=[n(3n-1)]/2
用数学归纳法证明等式"1+2+3+.+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N