如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/24 12:47:41

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：
①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．
∵M是AD中点，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BPM∽△CQP．
∴
PC
BM=
CQ
BP．
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．
∴
x
4=
4-y
4-x．
∴y=
1
4x2-x+4．

（3） ①当BP=1时，则有BP

∥
.
.AM，BP

∥
.
.MD，
则四边形BPDM为平行四边形，
∴MQ=y=
1
4×3²-3+4=
13
4．
当BP=3时，则有PC

∥
.
.AM，PC

∥
.
.MD，
则四边形APCM为平行四边形，
∴MQ=y=
1
4×1²-1+4=
13
4．
∴当BP=1，MQ=
13
4或BP=3，MQ=
13
4时，
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．
②△PQC为直角三角形．
∵y=
1
4（x-2）²+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．

如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,三角形MBC是等边三角形如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,三角形MBC是等边三角形.动点P,Q分别如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,点E为AD的中点,△EBC为边长为6cm的等边三角形,AD=4cm. 如图,在梯形ABCD中,AD\\BC,点E,F分别是对角线BD,AC的中点,求证EF=1\2(BC×AD) 如图,在梯形ABCD中,AD\\BC,点E,F分别是AB,CD的中点,求证EF=1\2(AD+BC) 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,△BCD是等边三角形,且BC=2厘米,求梯形ABCD的面积如图,在梯形ABCD中,AD//BC,M为AD的中点,且MB=MC,梯形ABCD是等腰梯形嘛?为什么? 如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,M为AD的中点,且MB=MC.梯形ABCD是等腰梯形吗?为什么? 如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD≠BC,M是AD的中点,MB=MC,求证四边形ABCD是等腰梯形已知,如图,在梯形ABCD中,AD//BC,M,N分别是AD,BC的中点,且MN⊥BC.求证：梯形ABCD是等腰梯形如图在梯形ABCD中AD∥BC,E是BC的中点,AD=5CM,BC=12CM,CD=4倍根号下2CM,角C=45°,点P 在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,M、N分别是AD、BC的中点.求证：MN=1/2 (BC-AD)