作业帮如何证明2^（1/3）是无理数?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/05 15:26:05
如何证明2^（1/3）是无理数?
反证法：
假设2^(1/3)是有理数,则2^(1/3)可以表示成q/p的形式
其中p和q为互质的正整数
2=(q/p)^3
2*p^3=q^3
将p和q进行质因数分解
令p=p1^a1*p2^a2*...*pm^am q=q1^b1*q2^b2*...*qn^bn
其中pi和qj分别为从小到大排序的质数,且pi≠qj (i=1,2,...,m j=1,2,...,n) ai和bj为正整数
则2*p1^3a1*p2^3a2*...*pm^3am=q1^3b1*q2^3b2*...*qn^3bn
因为2是质数,所以q1=2
p1^3a1*p2^3a2*...*pm^3am=2^(3b1-1)*q2^3b2*...*qn^3bn
所以p1=2
因为p和q都含有相同的质因数2,这与p、q互质矛盾
所以2^(1/3)是无理数
假设2^(1/3)是有理数,则2^(1/3)可以表示成q/p的形式
其中p和q为互质的正整数
2=(q/p)^3
2*p^3=q^3
将p和q进行质因数分解
令p=p1^a1*p2^a2*...*pm^am q=q1^b1*q2^b2*...*qn^bn
其中pi和qj分别为从小到大排序的质数,且pi≠qj (i=1,2,...,m j=1,2,...,n) ai和bj为正整数
则2*p1^3a1*p2^3a2*...*pm^3am=q1^3b1*q2^3b2*...*qn^3bn
因为2是质数,所以q1=2
p1^3a1*p2^3a2*...*pm^3am=2^(3b1-1)*q2^3b2*...*qn^3bn
所以p1=2
因为p和q都含有相同的质因数2,这与p、q互质矛盾
所以2^(1/3)是无理数