证明：若a和b均与m互素,则ab与m互素.不要用算数基本定理.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/09/01 11:31:05

证明：若a和b均与m互素,则ab与m互素.不要用算数基本定理.
假设ab与m不互素
则:ab与m存在大于1的公因数,设为k
则:a或b存在因数k,m存在因数k
所以:a或b与m不互素
这与条件矛盾
所以:ab与m互素
回答者：钟云浩 - 江湖豪侠十一级 2009-7-8 18:21
假设不承认算数基本定理，即一个整数可能存在多种质因数分解方式
如何得出：a或b存在因数k,m存在因数k
ab存在因数k，并不能说明a或b存在因数k，也就是说，可能a，b的任意一种分解方式都不含因数k，但a与b相乘后得到的ab或许存在一种分解方式含有因数k。
比如说，m=5，a=3，b=7，ab=3*7=21=2*2.1*5=2*2.1*m，（显然2.1不是素数，算数基本定理不允许这样的分解方式存在，所以只能打这样一个荒谬的比方，即将2.1看作素数，算数基本定理尚未证明前，不能否认类似的合理的分解方式的存在。）
我想要证明这条性质是因为书上证明算数基本定理时，用到了这个结论，因此，证明它时算数基本定理尚是未知的,不可循环论证。

如下方法不需要算术基本定理
首先一个结论就是,如果a,b互质的充要条件是:必有m,n为整数,使得am+bn=1.这个结论的证明是:
必要性:
辗转相除法:
设两数为a、b(b＜a),求它们最大公约数d的步骤如下：用b除a,得a＝bq1＋r1（0≤r＜b）.若r1=0,则(a,b)＝b；若r1≠0,则再用r1除b,得b＝rq2＋r2（0≤r2＜r1）.若r2＝0,则(a,b)＝r1,若r2≠0,则继续用r2除r1,……如此下去,直到能整除为止.其最后一个非零余数即为d.
根据辗转相除可以得到：
a=bq1+r1(0

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