证明:若a和b均与m互素,则ab与m互素.不要用算数基本定理.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/01 11:31:05
证明:若a和b均与m互素,则ab与m互素.不要用算数基本定理.
假设ab与m不互素
则:ab与m存在大于1的公因数,设为k
则:a或b存在因数k,m存在因数k
所以:a或b与m不互素
这与条件矛盾
所以:ab与m互素
回答者:钟云浩 - 江湖豪侠 十一级 2009-7-8 18:21
假设不承认算数基本定理,即一个整数可能存在多种质因数分解方式
如何得出:a或b存在因数k,m存在因数k
ab存在因数k,并不能说明a或b存在因数k,也就是说,可能a,b的任意一种分解方式都不含因数k,但a与b相乘后得到的ab或许存在一种分解方式含有因数k。
比如说,m=5,a=3,b=7,ab=3*7=21=2*2.1*5=2*2.1*m,(显然2.1不是素数,算数基本定理不允许这样的分解方式存在,所以只能打这样一个荒谬的比方,即将2.1看作素数,算数基本定理尚未证明前,不能否认类似的合理的分解方式的存在。)
我想要证明这条性质是因为书上证明算数基本定理时,用到了这个结论,因此,证明它时算数基本定理尚是未知的,不可循环论证。
假设ab与m不互素
则:ab与m存在大于1的公因数,设为k
则:a或b存在因数k,m存在因数k
所以:a或b与m不互素
这与条件矛盾
所以:ab与m互素
回答者:钟云浩 - 江湖豪侠 十一级 2009-7-8 18:21
假设不承认算数基本定理,即一个整数可能存在多种质因数分解方式
如何得出:a或b存在因数k,m存在因数k
ab存在因数k,并不能说明a或b存在因数k,也就是说,可能a,b的任意一种分解方式都不含因数k,但a与b相乘后得到的ab或许存在一种分解方式含有因数k。
比如说,m=5,a=3,b=7,ab=3*7=21=2*2.1*5=2*2.1*m,(显然2.1不是素数,算数基本定理不允许这样的分解方式存在,所以只能打这样一个荒谬的比方,即将2.1看作素数,算数基本定理尚未证明前,不能否认类似的合理的分解方式的存在。)
我想要证明这条性质是因为书上证明算数基本定理时,用到了这个结论,因此,证明它时算数基本定理尚是未知的,不可循环论证。
如下方法不需要算术基本定理
首先一个结论就是,如果a,b互质的充要条件是:必有m,n为整数,使得am+bn=1.这个结论的证明是:
必要性:
辗转相除法:
设两数为a、b(b<a),求它们最大公约数d的步骤如下:用b除a,得a=bq1+r1(0≤r<b).若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用r1除b,得b=rq2+r2(0≤r2<r1).若r2=0,则(a,b)=r1,若r2≠0,则继续用r2除r1,……如此下去,直到能整除为止.其最后一个非零余数即为d.
根据辗转相除可以得到:
a=bq1+r1(0
首先一个结论就是,如果a,b互质的充要条件是:必有m,n为整数,使得am+bn=1.这个结论的证明是:
必要性:
辗转相除法:
设两数为a、b(b<a),求它们最大公约数d的步骤如下:用b除a,得a=bq1+r1(0≤r<b).若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用r1除b,得b=rq2+r2(0≤r2<r1).若r2=0,则(a,b)=r1,若r2≠0,则继续用r2除r1,……如此下去,直到能整除为止.其最后一个非零余数即为d.
根据辗转相除可以得到:
a=bq1+r1(0
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