猜想 √n+√(n+2) 与 2√(n+1) 的大小,并证明,好的可加50分
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/13 03:11:45
猜想 √n+√(n+2) 与 2√(n+1) 的大小,并证明,好的可加50分
我已知√n+√(n+2) 大于 2√(n+1) ,需要其做法,好的可加50分
我已知√n+√(n+2) 大于 2√(n+1) ,需要其做法,好的可加50分
此题n应该为正整数,对吗?
解此类题在不知道谁大谁小的情况下,可以用假设法(反证法)!
然后证明假设是否成立.
比如:假设√n+√(n+2) > 2√(n+1)
因为都是正数且大于1,所以两边平方得 n+2√[n(n+2)]+(n+2) > 4(n+1)
即 2(n+1)+2√[n(n+2)] > 4(n+1)
√[n(n+2)] > 2(n+1)
两边再次平方得:n(n+2)> 4(n+1)^2
即 n^2+2n>4n^2+8n+4
0>3n^2+6n+4
因为n为正整数,显然:0不可能大于3n^2+6n+4
所以假设不成立,即 √n+√(n+2) 不可能大于 2√(n+1)
所以√n+√(n+2) < 2√(n+1)
那作者说的:我已知√n+√(n+2) 大于 2√(n+1) ,需要其做法,好的可加50分
会不有问题啊!
再者当n=1时√n+√(n+2)=√1+√(1+2)约等于1+1.732=2.732
而2√(n+1)=2√(1+1)约等于2*1.414=2.828
n+√(n+2) 也不可能大于 2√(n+1)
同理当n=4时√n+√(n+2)=√4+√(4+2)约等于2+2.449=4.449
而2√(4+1)=2√(1+1)约等于2*2.236=4.472
n+√(n+2) 也不可能大于 2√(n+1)
所以……?
解此类题在不知道谁大谁小的情况下,可以用假设法(反证法)!
然后证明假设是否成立.
比如:假设√n+√(n+2) > 2√(n+1)
因为都是正数且大于1,所以两边平方得 n+2√[n(n+2)]+(n+2) > 4(n+1)
即 2(n+1)+2√[n(n+2)] > 4(n+1)
√[n(n+2)] > 2(n+1)
两边再次平方得:n(n+2)> 4(n+1)^2
即 n^2+2n>4n^2+8n+4
0>3n^2+6n+4
因为n为正整数,显然:0不可能大于3n^2+6n+4
所以假设不成立,即 √n+√(n+2) 不可能大于 2√(n+1)
所以√n+√(n+2) < 2√(n+1)
那作者说的:我已知√n+√(n+2) 大于 2√(n+1) ,需要其做法,好的可加50分
会不有问题啊!
再者当n=1时√n+√(n+2)=√1+√(1+2)约等于1+1.732=2.732
而2√(n+1)=2√(1+1)约等于2*1.414=2.828
n+√(n+2) 也不可能大于 2√(n+1)
同理当n=4时√n+√(n+2)=√4+√(4+2)约等于2+2.449=4.449
而2√(4+1)=2√(1+1)约等于2*2.236=4.472
n+√(n+2) 也不可能大于 2√(n+1)
所以……?
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