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高二数学计算

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 17:32:20

解题思路: 欲证明A, P, B, Q四点在同一圆上,只需证明MA=MB=MP=MQ即可
解题过程:
(1)对椭圆C:x2+y2/2=1,c²=a²-b²=2-1=1,∴c=1,焦点为F(0,1)
过焦点斜率为-√2的直线为:y=-√2x+1
代入椭圆方程得 x²+(-√2x+1)²/2=1,整理得 4x²-2√2x-1=0
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),向量OA+向量OB=向量OC,则C=C(x1+x2,y1+y2)
因 x1+x2=√2/2,y1+y2=-√2(x1+x2)+2=-1+2=1;∴C=C(√2/2,1)
因 OA+OB+OP=OC+OP=0, ∴OP=-OC
即向量OP与OC大小相等,方向相反,∴P=P(-√2/2,-1)
将P代入椭圆C方程,得 左边=(-√2/2)²+(-1)²/2=1/2+1/2=1=右边
∴点P在椭圆C上
(2)
证明如下:
直线AB与椭圆相交,由(1)中方程 4x²-2√2x-1=0 可解得
x1=(√2+√6)/4,x2=(√2-√6)/4;
AB直线方程为y=-√2x+1,对应可得 y1=(1-√3)/2,y2=(1+√3)/2
又P的对称点Q即为C,由(1)的求解过程已求得。故可知,A, P, B, Q四点的坐标为:
A((√2+√6)/4,(1-√3)/2), B((√2-√6)/4,(1+√3)/2), P(-√2/2,-1), Q(√2/2,1)
过任意两点的圆的圆心必在两点连线的中垂线上
已知AB斜率为-√2,易求得直线AB中点为E(√2/4,1/2),∴AB中垂线为 y-1/2=(x-√2/4)/√2
同理,PQ斜率为(-1-1)/(-√2/2-√2/2)=√2,PQ中点为O(0,0),∴PQ的中垂线为 y=-x/√2
联立两条中垂线,解得交点为M(-√2/8,1/8)
现在,欲证明A, P, B, Q四点在同一圆上,只需证明MA=MB=MP=MQ即可
而MA²=((√2+√6)/4+√2/8)²+((1-√3)/2-1/8)²=99/64 => MA=3/8*√11
MB²=((√2-√6)/4+√2/8)²+((1+√3)/2-1/8)²=99/64 => MB=3/8*√11
MP²=(-√2/2+√2/8)²+(-1-1/8)²=99/64 => MP=3/8*√11
MQ²=(√2/2+√2/8)²+(1-1/8)²=99/64 => MQ=3/8*√11
∴MA=MB=MP=MQ,可知A,P,B,Q四点在同一圆上
祝同学开心!
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最终答案:略