作业帮方程x=sqrt(x+1)+sqrt(x+2)+sqrt(x+3)+sqrt(x+4)的解是代数数吗?其中,sqrt是开
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/04 17:29:07
方程x=sqrt(x+1)+sqrt(x+2)+sqrt(x+3)+sqrt(x+4)的解是代数数吗?其中,sqrt是开平方根方的意思.
方程可去掉根号,化为多项式方程,因此X是代数数：
令x+2=t^2 ,x=t^2-2
t^2-2=√(t^2-1)+t+√(t^2+1)+√(t^2+2)
t^2-t-2-√(t^2+2)=√(t^2-1)+√(t^2+1),两边平方得：
a^2-2a√(t^2+2)+(t^2+2)=2t^2+2√(t^4-1),a=t^2-t-2
b=a√(t^2+2)+√(t^4-1),b=(a^2+2-t^2)/2
两边再平方得：
b^2=a^2(t^2+2)+(t^4-1)+2a√(t^2+2)(t^4-1)
c=2a√(t^2+2)(t^4-1),c=b^2-a^2(t^2+2)-(t^4-1)
两边再平方即最终去掉平方根号了：
c^2=4a^2(t^2+2)(t^4-1),
再问： 谢谢了! 那么,普遍的方程:g1(x)*(f1(x)^m1)+g2(x)*(f2(x)^m2)+...gn(x)*(fn(x)^mn)=0,其中,f1(x),f2(x),...fn(x),g1(x),g2(x),...,gn(x)是系数为有理数的多项式,m1,m2,..,mn是有理数, 如果有实数解,一定是代数数吗?
再答： 这个我倒是不好证出。
再问： 但是,答案是代数数吗?还是到现在还没有解决?
再答： 这个我倒是没有深入研究过。但应该不一定是代数数。因为容易证明即使是多个二次根式相加（如7个），也不能通过移项，平方等这些方法消去根号。这可以从无论等号两边怎么安排根式，平方后产生的根式总数都不会减少而得到结论。
令x+2=t^2 ,x=t^2-2
t^2-2=√(t^2-1)+t+√(t^2+1)+√(t^2+2)
t^2-t-2-√(t^2+2)=√(t^2-1)+√(t^2+1),两边平方得：
a^2-2a√(t^2+2)+(t^2+2)=2t^2+2√(t^4-1),a=t^2-t-2
b=a√(t^2+2)+√(t^4-1),b=(a^2+2-t^2)/2
两边再平方得：
b^2=a^2(t^2+2)+(t^4-1)+2a√(t^2+2)(t^4-1)
c=2a√(t^2+2)(t^4-1),c=b^2-a^2(t^2+2)-(t^4-1)
两边再平方即最终去掉平方根号了：
c^2=4a^2(t^2+2)(t^4-1),
再问： 谢谢了! 那么,普遍的方程:g1(x)*(f1(x)^m1)+g2(x)*(f2(x)^m2)+...gn(x)*(fn(x)^mn)=0,其中,f1(x),f2(x),...fn(x),g1(x),g2(x),...,gn(x)是系数为有理数的多项式,m1,m2,..,mn是有理数, 如果有实数解,一定是代数数吗?
再答： 这个我倒是不好证出。
再问： 但是,答案是代数数吗?还是到现在还没有解决?
再答： 这个我倒是没有深入研究过。但应该不一定是代数数。因为容易证明即使是多个二次根式相加（如7个），也不能通过移项，平方等这些方法消去根号。这可以从无论等号两边怎么安排根式，平方后产生的根式总数都不会减少而得到结论。
lim (sqrt(x+2)-sqrt(x))/(sqrt(x+1)-sqrt(x)) (X趋近于正无穷)
证明不等式:x/(sqrt(y))+y/(sqrt(x))>=sqrt(x)+sqrt(y)
求积分 ∫(sqrt(x/(1-x*sqrt(x))))dx
c语言 中sqrt 例如 x=sqrt(i+100) 在这里的意思 是干什么
[关于椭圆几何性质]注：sqrt是根号 ^2是平方椭圆sqrt((x+1)^2+(y-1)^2)=|4x-3y-33|/
求不定积分：dy=sqrt（exp（2x）－1） sqrt是开方,exp是e,求高数达人帮忙
lim sqrt(1+tanx)-sqrt(1+sinx)/(x*sqrt(1+(sinx)^2)-x) x趋近于0
sqrt(x^2+1)sinx求不定积分
已知函数f(x)=ax^2-2xsqrt(4+2b-b^2),g(x)=-sqrt(1-(x-a)^2) sqrt是2次
函数f(x)= sinx--1/ sqrt(3-2cosx-2sinx)的值域是
lim(cos(sqrt(x)))^1/x
已知:\sqrt{x³+3x²}=-x\sqrt{x+3},求x的取值范围