作业帮已知函数f（x）=1x．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/14 16:03:36
已知函数f（x）=
| 1 |
| x |
（1）∵f(a)•(e−1)＝
∫e1f(x)dx，∴
1
a•(e−1)＝
∫e1
1
xdx＝lnx
|e1＝，1∴a＝e−1…（3分）
（2）
∫t1f(x)dx＝
∫t1
1
xdx＝lnx
|t1＝lnt
设
1
a•(t−1)＝lnt，∴a＝
t−1
lnt…（5分）
下面证明a∈[1，t]：a−1＝
t−1
lnt−1＝
t−1−lnt
lnt
设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)＝1−
1
t＝
t−1
t＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a−t＝
t−1
lnt−t＝
t−1−tlnt
lnt
设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)＝1−(1•lnt+t•
1
t)＝−lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t−1)＝
∫t1f(x)dx成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x0的函数值f（x0）与该区间长度的积，即
∫baf(x)dx＝f(x0)•(b−a)其中x0∈[a，b]…（14分）
∫e1f(x)dx，∴
1
a•(e−1)＝
∫e1
1
xdx＝lnx
|e1＝，1∴a＝e−1…（3分）
（2）
∫t1f(x)dx＝
∫t1
1
xdx＝lnx
|t1＝lnt
设
1
a•(t−1)＝lnt，∴a＝
t−1
lnt…（5分）
下面证明a∈[1，t]：a−1＝
t−1
lnt−1＝
t−1−lnt
lnt
设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)＝1−
1
t＝
t−1
t＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a−t＝
t−1
lnt−t＝
t−1−tlnt
lnt
设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)＝1−(1•lnt+t•
1
t)＝−lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t−1)＝
∫t1f(x)dx成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x0的函数值f（x0）与该区间长度的积，即
∫baf(x)dx＝f(x0)•(b−a)其中x0∈[a，b]…（14分）