已知2的n 次幂加一是质数,求证n是2的幂的形式、
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/14 23:24:41
已知2的n 次幂加一是质数,求证n是2的幂的形式、
题目条件加上n为正整数才能得证
假设存在n不是2的幂,2的n 次幂加一是质数
n=1时,2^1+1=3,为质数,成立
1)设n为奇数,n不为1
2^n+1=(3-1)^n + 1
=3^n+C(1,n)*[3^(n-1)]*(-1)+……+C(n-1,n)*3*[(-1)^(n-1)]+(-1)^n +1
=3^n+C(1,n)*[3^(n-1)]*(-1)+……+C(n-1,n)*3*[(-1)^(n-1)]
为3的倍数,假设不成立,即n为奇数,n不为1不成立
2)设n为不是2的幂的偶数
则可令n=2^a*b,b为不小于3的奇数
2^n+1=2^(2^a*b)+1
=[2^(2^a)]^b+1
={[2^(2^a)+1]-1}^b+1
=[2^(2^a)+1]^b+C(1,b)*[[2^(2^a)+1]^(b-1)]*(-1)+……
+C(b-1,b)*[2^(2^a)+1]*[(-1)^(b-1)]+(-1)^b+1
=[2^(2^a)+1]^b+C(1,n)*[[2^(2^a)+1]^(b-1)]*(-1)+……
+C(n-1,n)*[2^(2^a)+1]*[(-1)^(b-1)]
为 2^(2^a)+1的倍数,假设不成立,即 n为不是2的幂的偶数不成立
综上所述得,不存在n不是2的幂,2的n 次幂加一是质数
所以2的n 次幂加一是质数,n是2的幂的形式
假设存在n不是2的幂,2的n 次幂加一是质数
n=1时,2^1+1=3,为质数,成立
1)设n为奇数,n不为1
2^n+1=(3-1)^n + 1
=3^n+C(1,n)*[3^(n-1)]*(-1)+……+C(n-1,n)*3*[(-1)^(n-1)]+(-1)^n +1
=3^n+C(1,n)*[3^(n-1)]*(-1)+……+C(n-1,n)*3*[(-1)^(n-1)]
为3的倍数,假设不成立,即n为奇数,n不为1不成立
2)设n为不是2的幂的偶数
则可令n=2^a*b,b为不小于3的奇数
2^n+1=2^(2^a*b)+1
=[2^(2^a)]^b+1
={[2^(2^a)+1]-1}^b+1
=[2^(2^a)+1]^b+C(1,b)*[[2^(2^a)+1]^(b-1)]*(-1)+……
+C(b-1,b)*[2^(2^a)+1]*[(-1)^(b-1)]+(-1)^b+1
=[2^(2^a)+1]^b+C(1,n)*[[2^(2^a)+1]^(b-1)]*(-1)+……
+C(n-1,n)*[2^(2^a)+1]*[(-1)^(b-1)]
为 2^(2^a)+1的倍数,假设不成立,即 n为不是2的幂的偶数不成立
综上所述得,不存在n不是2的幂,2的n 次幂加一是质数
所以2的n 次幂加一是质数,n是2的幂的形式
已知n 为一个正整数,且2的n次方减1 是一个质数,求证n也是质数.
数论证明,关于质数若2^n+1是质数(n>1),则n是2的方幂!
已知n是大于1的自然数,求证log n (n+1)>log n+1 (n+2)
若n是大于2的自然数.求证:2的n次方减1与2的n次方加1中至多有一个是质数.
已知n是正整数,且n-16n+100是质数,求n的值.
对任意的质数p,求证:存在无穷多个正整数n使得p能整除(2^n-n)
对任意的质数p,求证:存在无穷多个正整数n使得p能整除(2^n-n)
已知:n是大于1的自然数 求证:4n^2+1是合数
当n为正整数时,n^2+n+11的值一定是质数吗?
当n为整数时,式子n^2+n+11的值一定是质数吗?
已知n是大于1的自然数,求证:以n为底数(n+1)的对数大于以(n+1)为底数(n+2)的对数
已知p的平方与m的平方和为n的平方,其中p为质数m,n为自然数.求证2(p+m+1)是完全平方数.