作业帮导数大题极值
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 01:12:46
已知a是实常数，函数f(x)=xlnx+ax²，若f(x)有两个极值点x1,x2(x1
解题思路： 本题主要考查的知识点是：1、利用导数求单调区间；2、利用导数求最值
解题过程：
解：（1） ∵f'(x)=lnx+1+2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=-2ax+1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1+2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
g‘（x）=1/x+2a．
①当a>=0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a<0时，令g′（x）=0，解得x=-1/2a
∵x∈（0，-1/2a），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（-1/2a,+无穷），时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=-1/2a是函数g（x）的极大值点，则g(-1/2a)＞0，即ln(-1/2a)+1-1＞0，
∴ln（-2a）＜0，∴0＜-2a＜1，即-1/2<a<0
（2）
∵0<x1<-1/2a<x2，f′（x1）=lnx1+1+2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1+2ax2=0．
且f（x1）=x1（lnx1+ax1）=x1（-2ax1﹣1+ax1）=x1（-ax1﹣1）>x1（﹣ax1）=
>0，
f（x2）=x2（lnx2+ax2）=x2（-ax2﹣1）>﹣
．
解题过程：
解：（1） ∵f'(x)=lnx+1+2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=-2ax+1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1+2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
g‘（x）=1/x+2a．
①当a>=0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a<0时，令g′（x）=0，解得x=-1/2a
∵x∈（0，-1/2a），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（-1/2a,+无穷），时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=-1/2a是函数g（x）的极大值点，则g(-1/2a)＞0，即ln(-1/2a)+1-1＞0，
∴ln（-2a）＜0，∴0＜-2a＜1，即-1/2<a<0
（2）
∵0<x1<-1/2a<x2，f′（x1）=lnx1+1+2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1+2ax2=0．
且f（x1）=x1（lnx1+ax1）=x1（-2ax1﹣1+ax1）=x1（-ax1﹣1）>x1（﹣ax1）=
>0，f（x2）=x2（lnx2+ax2）=x2（-ax2﹣1）>﹣
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