0.99999……=1吗

0.99999……=1吗

我举一个例子来帮助你理解这个问题：假设有两杯饮料,对第一杯饮料,第一天喝掉90%,第二天喝掉剩下饮料中的90%,第三天再喝掉剩下饮料中的90%,以后的每一天都喝掉前一天剩下饮料中的90%,像这样一直喝下去,就算到了太阳熄灭的那一天,还是剩下一点饮料没有喝完（这里假设饮料仍然可分）；对第二杯饮料,用10分钟喝完90%,然后用1分钟喝完剩下饮料中的90%,再用0.1分钟喝完剩下饮料中的90%,一直喝下去,也就是用10分钟喝完0.9杯,用11分钟喝完0.99杯,用11.1分钟喝完0.999杯,……,可以得出,喝完0.999999……杯饮料需要11.111111……分钟,于是我们就发现,在经过11+1/9分钟也就是十一又九分之一分钟后,饮料被喝完了,呵呵……（喝第二杯饮料的过程是一个匀速的过程,平均速度就是0.09杯/分钟,这样我们就不必关心分多少口喝完这杯饮料,确定了喝饮料的速度以后,喝完饮料所需要的时间也就定下来了）.
下面来分析喝第一杯饮料的过程：很容易给人0.999999……小于1的感觉,因为不管喝到哪一天,仍然有一点饮料没喝完.可以确定的是,按这种喝法,永远也没有饮料被喝完的那一天,因为在喝饮料的任何一天,它的天数N都是一个有限的数,到那一天,喝完的饮料为0.999……999杯,而不是0.999999……杯,0.999……999必然是小于1的.喝完饮料所需要的天数是无穷大,而无穷大的特点是无穷大减任何数还等于无穷大,也就是说不管喝了多少天,喝完它的目标都没有任何的进展,就算到了太阳熄灭的那一天,喝完剩下的饮料所需要的天数还是无穷大.认为1大于0.999999……的人大多认为1和0.999999……之间相差一个无穷小,可是无穷小是什么呢?无穷小是一个变量,是无限趋近于0的过程,对无穷小来说,N可以等于一百、一千、一万、一亿……（要求N的值越来越大）,相对于每次的N,无穷小的值越来越小,越来越接近0.但是0.999999……是什么?它是有理数,是一个常数,在数轴上有唯一的点与它相对应.0.999999……和1都是常数,两个常数的差必然是一个常数,而不可能是一个变量；所以,1-0.999999……不可能等于无穷小.那么,0.999999……和无穷小到底是什么关系呢?无穷小是描述0.999……999（注意不是0.999999……）无限趋近于1的过程,而0.999999……并不在这一过程之中,它是这个过程的终点,回到前面的例子中,也就是喝完0.999999……杯饮料并不存在于喝饮料的任何一天之中,那么它在哪里呢?我们再来看第二杯饮料.在它被喝完之前,都是属于无限趋近的过程,也就是用11.1……111分钟喝完了0.999……999杯,小数点后9的个数N都是一个有限的数,离喝完的目标还差一个0.000……001.而0.999999……小数点后有无限多的9,也就是9的个数N等于无穷大,注意,是等于无穷大,而不是趋近于无穷大.在N等于无穷大的情况下,离喝完饮料的距离自然就等于0.再重复一遍,0.999999……不属于喝饮料的过程,它只属于喝完饮料的那一瞬间,对应的时间就是11.111111……分钟.
如果你学过曲线,我就用曲线的方法来为你描述一下,如果你没学过,可以略过这个部分.在坐标轴上,以小数点后9的个数为X轴,以0.999……999的值为Y轴,画一条曲线,可以看出来这条曲线沿X轴正方向运动时Y值逐渐趋近于1.有人会说：“看,这条曲线虽然趋近于1,但是它始终在1的下面,永远也不能达到1,所以0.999999……也小于1”.但是,问题就在于0.999999……并不在这条曲线上,因为你所能看到的这条曲线上的任何一点,都能读出X轴和Y轴的值,既然能读出值,那么X就是个有限的数,也就是说它并不能代表0.999999…….而0.999999……就是这条曲线的渐近线,也就是Y=1.对应于前面的例子,喝第一杯饮料的过程就相当于沿X轴前进,喝第二杯饮料的过程就相当于沿Y轴前进.
之前所说的只是为了帮你理解,而不是证明过程.网络上证明0.999999……=1的方法有很多,这里不再一一列举.就用反证法来证明如下：假设1>0.999999……,不等式两边除以3,得到1/3>0.333333……,这与1/3=0.333333……相矛盾,所以假设不成立.这两个0.333333……无论是形式还是内容都是完全相同的,如果有人一定要说他们不一样,我也没有什么好说的了.
需要说明的是,就像1+1不一定等于2一样,0.999999……=1也有其适用范围,至于这个范围,我没有研究过,就不乱说了.