作业帮函数奇偶性8
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 00:28:05
解题思路： 赋值法得出几个特殊值f(0)f(-1)f(2)、以及周期性，归结为周期计算。
解题过程：
已知奇函数f(x)（x∈R）满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且f(1)＝2，
则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013) 等于_________ .
【解】：由 f(x)是奇函数（x∈R），得 f(－0)＝－f(0)，∴ f(0)＝0，
由 f(x)是奇函数，且 f(1)＝2，可得 f(－1)＝－f(1)＝－2，
在f(x＋4)＝f(x)＋f(2)中，取x＝－2，得 f(2)＝f(－2)＋f(2)，∴ f(－2)＝0，
再由 f(x)是奇函数，得 f(2)＝－f(－2)＝0，
∴ f(x＋4)＝f(x)，即 f(x)是以4为周期的周期函数，
∴ f(3)＝f(－1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，
可见，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0【每连续四项的和，均为零】，
而 2013 ＝ 4×503 + 1， f(2013)＝f(1)＝2
于是，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＝503×0＋f(1)＝0＋2＝2 .
【注】：前2012项共含503个周期，第2013项等于第1项。
同学你好，如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你学习进步，生活愉快 .
最终答案：略
解题过程：
已知奇函数f(x)（x∈R）满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且f(1)＝2，
则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013) 等于_________ .
【解】：由 f(x)是奇函数（x∈R），得 f(－0)＝－f(0)，∴ f(0)＝0，
由 f(x)是奇函数，且 f(1)＝2，可得 f(－1)＝－f(1)＝－2，
在f(x＋4)＝f(x)＋f(2)中，取x＝－2，得 f(2)＝f(－2)＋f(2)，∴ f(－2)＝0，
再由 f(x)是奇函数，得 f(2)＝－f(－2)＝0，
∴ f(x＋4)＝f(x)，即 f(x)是以4为周期的周期函数，
∴ f(3)＝f(－1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，
可见，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0【每连续四项的和，均为零】，
而 2013 ＝ 4×503 + 1， f(2013)＝f(1)＝2
于是，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)＝503×0＋f(1)＝0＋2＝2 .
【注】：前2012项共含503个周期，第2013项等于第1项。
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最终答案：略