几道概率论与数理统计的题(需要详细解答过程)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/31 07:44:54
几道概率论与数理统计的题(需要详细解答过程)
1.从数字0,1,……,n中无放回取出两个数,求这两个数差的绝对值的数学期望。
2.设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为0.5的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差。
3.流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0>p>1),各产品合格与否相互独立,当出现k个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X)。
1.从数字0,1,……,n中无放回取出两个数,求这两个数差的绝对值的数学期望。
2.设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为0.5的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差。
3.流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0>p>1),各产品合格与否相互独立,当出现k个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X)。
回答:
(1.) 把0,1,2,...,n标在数轴上,连接所有两点之间的距离,即0-1,1-2,2-3,...,0-2,1-3,2-4,...,0-3,1-4,2-5,...等等,共有n(n+1)/2条线段。这些线段的平均长度就是所求
{∑(i=1, n)[i(n-i+1)]}/{n(n+1)/2}
= n/3 + 2/3.
(2.) 根据对称性,-Y的分布和Y的分布相同,故X-Y的分布和X+Y的分布相同,而X+Y~N(0+0, 0.5+0.5) = N(0, 1)。取绝对值将原分布变成“对折正态分布”(Folded Normal Distribution)的一种特殊情况:“半正态分布”(Half-Normal Distribution)。其均值和方差分别是σ√(2/π) 和σ²(1-2/π)。
本题中,σ=1。故均值E和方差D分别是
E(|X-Y|) = √(2/π);
D(|X-Y|) = (1-2/π).
(3.) 这个问题属于“负二项分布”(Negative Binomial Distribution)。
设X=n+k,即n个“合格品”和k个“不合格品”。那么,n服从“负二项分布”,即
P(n=i) = C(i+k-1, k-1) x p^k x (1-p)^i.
这个分布的均值和方差分别是
E(n) = k(1-p)/p;
D(n) = k(1-p)/p^2.
所以, X的均值和方差分别是
E(X) = E(n)+k = k(1-p)/p + k;
D(X) = D(n) = k(1-p)/p^2.
〔注意,D(X)和D(n)相等。〕
(1.) 把0,1,2,...,n标在数轴上,连接所有两点之间的距离,即0-1,1-2,2-3,...,0-2,1-3,2-4,...,0-3,1-4,2-5,...等等,共有n(n+1)/2条线段。这些线段的平均长度就是所求
{∑(i=1, n)[i(n-i+1)]}/{n(n+1)/2}
= n/3 + 2/3.
(2.) 根据对称性,-Y的分布和Y的分布相同,故X-Y的分布和X+Y的分布相同,而X+Y~N(0+0, 0.5+0.5) = N(0, 1)。取绝对值将原分布变成“对折正态分布”(Folded Normal Distribution)的一种特殊情况:“半正态分布”(Half-Normal Distribution)。其均值和方差分别是σ√(2/π) 和σ²(1-2/π)。
本题中,σ=1。故均值E和方差D分别是
E(|X-Y|) = √(2/π);
D(|X-Y|) = (1-2/π).
(3.) 这个问题属于“负二项分布”(Negative Binomial Distribution)。
设X=n+k,即n个“合格品”和k个“不合格品”。那么,n服从“负二项分布”,即
P(n=i) = C(i+k-1, k-1) x p^k x (1-p)^i.
这个分布的均值和方差分别是
E(n) = k(1-p)/p;
D(n) = k(1-p)/p^2.
所以, X的均值和方差分别是
E(X) = E(n)+k = k(1-p)/p + k;
D(X) = D(n) = k(1-p)/p^2.
〔注意,D(X)和D(n)相等。〕