化简1^3+2^3+3^3+...+n^3

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 09:30:06

1³+2³+3³+.+n³=[n(n+1)/2]².
再问：请问可以写出过程吗
再答： ∵(n+1)⁴-n⁴=(n²+2n+1)²-n⁴=n⁴+4n²+1+4n³+2n²+4n-n⁴=4n³+6n²+4n+1 即(n+1)⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1，将n=1，2，3，......，n依次代入得： 2⁴-1⁴=4×1³+6×1²+4×1+1 3⁴-2⁴=4×2³+6×2²+4×2+1 4⁴-3⁴=4×3³+6×3²+4×3+1 5⁴-4⁴=4×4³+6×4²+4×4+1 ........................................ (n+1)⁴-n⁴=4n³+6n²+4n+1 ____________________+ (n+1)⁴-1=4(1³+2³+3³+....+n³)+6(1²+2²+3²+.....+n²)+4(1+2+3+.....+n)+n =4(1³+2³+3³+....+n³)+6[(1/6)n(n+1)(2n+1)]+4[(n+1)n/2]+n =4(1³+2³+3³+....+n³)+n(n+1)(2n+1)+2(n+1)n+n 故1³+2³+3³+....+n³=(1/4)[(n+1)⁴-1-n(n+1)(2n+1)-2(n+1)n-n] =(1/4){(n+1)[(n+1)³-n(2n+1)-2n-1]} =(1/4)(n+1)(n³+n²) =(1/4)n²(n+1)² =[(1/2)n(n+1)]² 【其中直接利用了公式：1²+2²+3²+.....+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1) 此公式可用与上类似的方法求得： (n+1)³-n³=3n²+3n+1，用n=1，2，3，.....，n依次代入再相加即得】

[3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+2)化简证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n 化简(n+1)(n+2)(n+3) 化简：1/(n+1)(n+2)+1/(n+2)(n+3)+1/(n+3)(n+4) 计算：n(n+1)(n+2)(n+3)+1 lim[(n+3)/(n+1))]^(n-2) 【n无穷大】 (1/(n^2 n 1 ) 2/(n^2 n 2) 3/(n^2 n 3) ……n/(n^2 n n)) 当N越于无穷大当n为正偶数,求证n/(n-1)+n(n-2)/(n-1)(n-3)+...+n(n-2).2/(n-1)(n-3).. 1 + (n + 1) + n*(n + 1) + n*n + (n + 1) + 1 = 2n^2 + 3n + 3 (n+1)(n+2)/1 +(n+2)(n+3)/1 +(n+3)(n+4)/1 -2n-(3n-1)化简证明(1+2/n)^n>5-2/n（n属于N+,n>=3)