(2013•怀化二模)已知函数f(x)=ax−bx−2lnx,f(1)=0.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/31 16:47:25
(2013•怀化二模)已知函数f(x)=ax−
−2lnx,f(1)=0
b |
x |
(1)f(1)=a-b=0⇒a=b,
∴f(x)=ax−
a
x−2lnx,
∴f′(x)=a+
a
x2−
2
x.
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0,
当a=0时,f′(x)=−
2
x<0在(0,+∞)内恒成立;
当a>0时,要使f′(x)=a(
1
x−
1
a)2+a−
1
a>0恒成立,则a−
1
a>0,解得a>1,
当a<0时,要使f′(x)=a(
1
x−
1
a)2+a−
1
a<0恒成立,则a−
1
a<0,解得a<-1,
所以a的取值范围为a>1或a<-1或a=0.
(2)根据题意得:f'(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,∴f′(x)=(
1
x−1)2,
于是an+1=f′(
1
an−n+1)=(an−n)2−n2+1=
a2n−2nan+1,
用数学归纳法证明如下:
当n=1时,a1=4≥2×1+2,不等式成立;
假设当n=k时,不等式ak≥2k+2成立,即ak-2k≥2也成立,
当n=k+1时,ak+1=ak(ak-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2,
所以当n=k+1,不等式也成立,
综上得对所有n∈N*时5,都有an≥2n+2.
(3)由(2)得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…an+1≥2(an-1+1),
累乘得:an+1≥2n−1(a1+1),则
1
1+an≤
1
2n−1•
1
1+a1(n≥2),
所以
1
1+a1+
1
1+a2+…+
1
1+an≤
1
1+a1
∴f(x)=ax−
a
x−2lnx,
∴f′(x)=a+
a
x2−
2
x.
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0,
当a=0时,f′(x)=−
2
x<0在(0,+∞)内恒成立;
当a>0时,要使f′(x)=a(
1
x−
1
a)2+a−
1
a>0恒成立,则a−
1
a>0,解得a>1,
当a<0时,要使f′(x)=a(
1
x−
1
a)2+a−
1
a<0恒成立,则a−
1
a<0,解得a<-1,
所以a的取值范围为a>1或a<-1或a=0.
(2)根据题意得:f'(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,∴f′(x)=(
1
x−1)2,
于是an+1=f′(
1
an−n+1)=(an−n)2−n2+1=
a2n−2nan+1,
用数学归纳法证明如下:
当n=1时,a1=4≥2×1+2,不等式成立;
假设当n=k时,不等式ak≥2k+2成立,即ak-2k≥2也成立,
当n=k+1时,ak+1=ak(ak-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2,
所以当n=k+1,不等式也成立,
综上得对所有n∈N*时5,都有an≥2n+2.
(3)由(2)得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…an+1≥2(an-1+1),
累乘得:an+1≥2n−1(a1+1),则
1
1+an≤
1
2n−1•
1
1+a1(n≥2),
所以
1
1+a1+
1
1+a2+…+
1
1+an≤
1
1+a1
(2013•怀化二模)已知函数f(x)=ax−bx−2lnx,f(1)=0.
(2013•怀化二模)已知函数f(x)=32sin2x−12(cos2x−sin2x)−1
(2013•和平区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
(2012•枣庄二模)已知函数f(x)=x−ax(a∈R),g(x)=lnx.
已知函数f(x)=lnx,g(x)=(1/2)ax^2+bx,a≠0
(2013•威海二模)已知函数f(x)=ax+lnx,x∈[1,e].
(2012•泰安二模)已知函数f(x)=ax-lnx(a>0),g(x)=8xx+2.
(2012•怀化二模)已知函数f(x)=23sin(x2+π4)cos(x2+π4)−sin(x+π).
(2012•蓝山县模拟)已知函数f(x)=lnx−12ax2+bx(a>0),且f′(1)=0.
已知函数f(x)=lnx-ax^2-bx
已知函数f(x)=lnx+ax平方+bx
已知函数f(x)=lnx-bx^2+ax(a,b∈R)