设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/09/29 20:44:46

只需证明：若λ是AB的特征值,则λ也是BA的特征值.分两种情况：
(1)λ≠0.由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0（否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾）.这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值.
(2)λ=0.此时存在非零向量x使得ABx=λx=0,所以AB不满秩,知det(AB)=0.从而det(BA)=det(AB)=0,BA不满秩,所以存在非零向量x使得BAx=0=λx.这说明λ=0也是BA的特征值.
证毕.

设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值设A,B都是N阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值设A是n阶正定矩阵,AB是n阶实对称矩阵,证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明：AB和BA有相同的非零特征值. A,B都是n阶半正定矩阵,证明：AB的特征值都≥0 设A为n阶反称矩阵,证明:如果入.是矩阵A的特征值,则 -入.也是A的特征值. 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵； A是正规矩阵,证明A为酉矩阵的充要条件是A的特征值的模都是1 A,B均为正定矩阵,且AB=BA,A,B的特征值分别为λ1,λ2...λn；μ1,μ2,...μn.证明AB特征值为λ 设λ是n阶矩阵A的特征值则是A平方的特征值设A为n阶矩阵,证明A的转置与A的特征值相同.