作业帮已知函数f（x）=（x+2）|x-2|．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/06 10:08:33
已知函数f（x）=（x+2）|x-2|．
（1）若不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解不等式f（x）＞3x．
（1）若不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解不等式f（x）＞3x．
（1）当x∈[-3，1]时，f（x）=（x+2）|x-2|=（x+2）（2-x）=-x2+4．
∵-3≤x≤1，∴0≤x2≤9．于是-5≤-x2+4≤4，
即函数f（x）在[-3，1]上的最大值等于4．
∴要使不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，+∞）．
（2）不等式f（x）＞3x，即（x+2）|x-2|-3x＞0．
当x≥2时，原不等式等价于x2-4-3x＞0，解得x＞4，或x＜-1．
又∵x≥2，∴x＞4．
当x＜2时，原不等式等价于4-x2-3x＞0，即x2+3x-4＜0，解得-4＜x＜1，满足x＜2．
综上可知，原不等式的解集为{x|x＞4，或-4＜x＜1}．
∵-3≤x≤1，∴0≤x2≤9．于是-5≤-x2+4≤4，
即函数f（x）在[-3，1]上的最大值等于4．
∴要使不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，+∞）．
（2）不等式f（x）＞3x，即（x+2）|x-2|-3x＞0．
当x≥2时，原不等式等价于x2-4-3x＞0，解得x＞4，或x＜-1．
又∵x≥2，∴x＞4．
当x＜2时，原不等式等价于4-x2-3x＞0，即x2+3x-4＜0，解得-4＜x＜1，满足x＜2．
综上可知，原不等式的解集为{x|x＞4，或-4＜x＜1}．