已知A和B是可交换矩阵,且B是幂零矩阵,试证明A B与A有相同的特征多项式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/30 09:45:48
反证,若E-BA不可逆,则存在X不为0,使(E-BA)X=0(方和有非零解)->X=BAX,则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX=0也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX),与题设矛盾
因为A,B是同阶对称矩阵,所以A'=A,B'=B所以有AB是对称矩阵(AB)'=ABB'A'=ABBA=ABA,B可交换
AB的行数即A的行数,AB的列数即B的列数所以AB=BA时,A的行数(AB的行数)等于B的行数(BA的行数),B的列数等于A的列数又因为AB有意义,所以A的列数等于B的行数所以A,B是同阶方阵
证明:由AB=A+B得(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E所以A-E可逆,且E=(B-E)(A-E)=BA-B-A+E所以BA=A+B=AB.
对A的属于特征值λ的特征子空间Vλ中的任一向量x有Ax=λx所以A(Bx)=BAx=λBx所以Bx属于Vλ所以A的特征子空间Vλ是B的不变子空间.
设B=b1b2b3b4因为AB=BA所以有b1+b3b2+b400=b1b1b3b3所以b1+b3=b1b2+b4=b1b3=0故B=a+ba0ba,b为任意常数
(BC)A=B(CA)=B(AC)=(BA)C=(AB)C=A(BC(B+C)A=BA+CA=AB+AC=A(B+C)证毕
经济数学团队为你解答,有不清楚请追问.请及时评价.
证明:AB=BAA^-1(AB)A^-1=A^-1(BA)A^-1BA^-1=A^-1BB^-1(BA^-1)B^-1=B^-1(A^-1B)B^-1A^-1B^-1=B^-1A^-1.
再问:这里的Bi与Ei同阶是怎么证明的呢?再答:与准对角矩阵diag(λ1E1,λ2E2,...,λrEr)可交换的矩阵必为对应同阶的准对角矩阵。(见北京大学高等代数第四章)再答:
再问:那俩箭头啥意思再答:这都不知道,充分性、必要性这里只是提供思路,书写是不规范的,将就着看吧再问:哦,谢谢再答:不客气
证明:因为A,B均为n阶的对称矩阵,所以A'=A,B'=BAB为对称矩阵(AB)'=ABB'A'=ABBA=AB即A与B可交换
这个要用到逆矩阵XA=B方程两边右乘A^(-1)得X=BA^(-1)
A,B是对称的,可交换的故他们可同时对角化.且AB可与其同时对角化.A,B是半正定的,对角化后对角线上的结果是非负的.故AB对角化后的结果对角线上非负.故AB是半正定的.另外对称是显然的.再问:为什么
ab=ba可以得到a和b可以同时上三角化,然后就显然了再问:能不能说得再详细一点,高代是自学的,没上过课,学得不太好再答:先去看这个问题http://zhidao.baidu.com/question
待定系数算一下就知道了么,答案是a+ba,a和b任意实数.0
当且仅当是充分必要的意思,即两个结论可互推既在证明:A与B可交换时,AB是对称的又要证明:AB是对称时,A与B可交换
题目少了条件,必须加上对角元素互不相同才可如图证明结论.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.
只要找出一个非零解满足(E-AB)Y=0,就可以说明与题设矛盾,假设E-BA不可逆,则(E-BA)X=0有非零解,则可得X=BAX.又(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX=0,即AX为(E-A